Tiếp cận các bất đẳng thức bằng hình học trực quan

Tài liệu "Tiếp cận các bất đẳng thức bằng hình học trực quan" được biên soạn bởi nhóm tác giả Tạp Chí Và Tư Liệu Toán Học, hướng dẫn phương pháp tiếp cận các bất đẳng thức bằng hình học trực quan. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tại đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tiếp cận các bất đẳng thức bằng hình học trực quanTiếp cận các bất đẳng thức bằng hình học trực quan Tạp Chí Và Tư Liệu Toán Học Ngày 13 tháng 8 năm 2021 MỘT THẾ GIỚI KHÁC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC1 Từ bất đẳng thức tam giác tới bất đẳng thức MinkowskiĐây có lẽ là một bất đẳng thức cơ bản nhất mà chúng ta được học ở chương trình phổ thông, nộidung của nó phát biểu như sau:Bất đẳng thức tam giác. Trong một tam giác thì tổng độ dài 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại.Chứng minh. Bất đẳng thức này có rất nhiều cách chứng minh đơn giản, có thể sử dụng mốiquan hệ đường xiên − hình chiếu hoặc bạn đọc cũng có thể làm như sau: Giả sử rằng a > b > c,khi đó vẽ các cung tròn như hình vẽ dưới a b a b cNhư vậy ta dễ dàng suy ra được điều phải chứng minh. Xuất phát từ bất đẳng thức này, ta cóthể chứng minh được một số bất đẳng thức quen thuộc khác.Bài toán 1.0.1. Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng √ √ 2 (a + b) 6 2 a2 + b2 6 2 (a + b)Chứng minh. Ta có thể thấy bóng dáng của bất đẳng thức AM − RM S ở dãy bất đẳng thứctrên, như vậy với bài toán này ta sẽ có thêm một cách giải quyết nữa cho 2 đại lượng trung bìnhAM và RM S. Quan sát hình vẽ dưới đây a b a b √Từ hình vẽ trên ta√có thể thấy rằng 2 a2 + b2 chính là tổng độ dài 2 cạnh huyền của 2 tam giácvuông bằng nhau, 2(a + b) chính là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có cạnh là a + b,khi đó sử dụng bất đẳng thức tam giác ta dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.Sử dụng ý tưởng tương tự, ta sẽ chứng minh được bất đẳng thức sauBài toán 1.0.2. Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng √ √ √ √ 2(a + b + c) 6 a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 6 2(a + b + c)Chứng minh. Tương tự như trên, bạn đọc có thể tự giải quyết nó trước khi quan sát hình vẽ dướiđây 2 TỪ BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC TỚI BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI a c b a b cĐến đây mọi việc quá đơn giản rồi, bất đẳng thức được chứng minh!Có vẻ như ý tưởng sử dụng bất đẳng thức tam giác và mối quanp hệ của các cạnh trong tam giácvuông khá hữu hiệu với những bài toán xuất hiện đại lượng x2 + y 2 , sau đây tiếp tục là mộtbài toán rất quen thuộc với chúng có sử dụng ý tưởng này!Bài toán 1.0.3. Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng √ √ q a2 + c2 + b2 + d2 > (a + b)2 + (c + d)2Chứng minh. Ở toán phổ thông, chúng ta được biết tới bất đẳng thức này với một số tên gọi nhưlà bất đẳng thức vector hoặc bất đẳng thức Minkowski hoặc có một số nơi gọi là bất đẳng thức tọađộ. Chứng minh của nó khá đơn giản như sau d c a bTới đây ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của tam giác màu xám là √ √ p a2 + c2 , b2 + d2 , (a + b)2 + (c + d)2Như vậy theo bất đẳng thức tam giác ta có điều phải chứng minh. Đây là một trường hợp đặcbiệt với 2 biến của bất đẳng thức Minkowski, dạng tổng quát của nó được phát biểu như sau: Vớicác số thực dương ai , bi , i = 1, n(n ∈ N, n > 1), khi đó ta có v u n !2 n !2 n q u X X X t ai + bi 6 a2i + b2i i=1 i=1 i=1Mặc dù dạng tổng quát nhìn có vẻ rối rắm, tuy nhiên chứng minh của nó hoàn toàn như trườnghợp 2 biến, các bạn có thể xem hình bên dưới. 3 MỘT THẾ GIỚI KHÁC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC y bn ...