Tiêu chuẩn mới về đan rối dưới dạng bất đẳng thức cho hệ hai Mode

Bài viết Tiêu chuẩn mới về đan rối dưới dạng bất đẳng thức cho hệ hai Mode trình bày dựa trên việc tính toán các bất định của các toán tử sinh, hủy mode của trường điện từ để đưa ra một tiêu chuẩn mới dưới dạng các bất đẳng thức mà một hệ hai mode thỏa mãn một trong các bất đẳng thức đó sẽ bị rối,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tiêu chuẩn mới về đan rối dưới dạng bất đẳng thức cho hệ hai ModeTIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI DƯỚI DẠNG BẤTĐẲNG THỨC CHO HỆ HAI MODEHOÀNG PHƯƠNG HÀHọc viên Cao học, Trường ĐHSP - Đại học HuếTRƯƠNG MINH ĐỨCTrường Đại học Sư phạm - Đại học HuếTóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi dựa trên việc tính toán các bấtđịnh của các toán tử sinh, hủy mode của trường điện từ để đưa ra mộttiêu chuẩn mới dưới dạng các bất đẳng thức mà một hệ hai mode thỏamãn một trong các bất đẳng thức đó sẽ bị rối. Sau đó chúng tôi áp dụngtiêu chuẩn vừa tìm được để dò tìm đan rối cho một số trạng thái phi cổđiển hai mode.1 GIỚI THIỆUKhoa học thông tin lượng tử là một ngành đang phát triển rất nhanh chóng trong nhiềungành của cơ học lượng tử và lý thuyết thông tin. Rối là một nguồn tài nguyên giá trị, làchìa khóa cho sự phát triển nhanh chóng của tiến trình xử lý thông tin lượng tử. Do vậy,việc phát hiện ra rối là một trong những vấn đề cơ bản trong lý thuyết thông tin lượngtử. Từ quan điểm lý thuyết, người ta có thể trả lời cho câu hỏi liệu một trạng thái có bịrối hay không, nhưng cho đến nay chưa có giải pháp chung nào cho vấn đề này. Nhữngphương pháp như điều kiện chuyển vị từng phần dương của Peres-Horodecki [1], [2], nhữngbằng chứng về rối [3], hệ thống các điều kiện rối đã tồn tại, nhưng chúng không dễ dàngđược áp dụng cho mọi trường hợp. Đặc biệt đối với những hệ có bậc tự do liên tục nhưlà tọa độ hay xung lượng của hạt hay các thành phần vuông góc của các mode thì số cáctiêu chuẩn tồn tại cho việc phát hiện rối còn rất giới hạn. Trong nhiều trường hợp, cáctiêu chuẩn này có dạng các bất đẳng thức [4], [5]. Nói chung, chúng chỉ cung cấp các điềukiện đủ cho việc phát hiện rối. Tuy vậy, thực tế thì hầu hết các bất đẳng thức đó lại hạnchế đối với trạng thái phi-Gaussian. Hillery và Zubairy đã cung cấp một lớp các bất đẳngthức cho việc phát hiện rối cho hệ hai mode dựa trên việc tính toán các bất định của cáctoán tử sinh hủy mode của trường điện từ, tiêu chuẩn này có thể áp dụng cho trạng tháiphi-Gaussian [6]. Cũng bằng cách này, chúng tôi tính toán và đưa ra một lớp các bất đẳngthức khác cho việc phát hiện rối trong hệ hai mode. Trên cơ sở tiêu chuẩn mới được đưara, chúng tôi thực hiện việc kiểm tra xem một trạng thái hai mode phi cổ điển nào đó cóbị rối hay không.Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm HuếISSN 1859-1612, Số 03(11)/2009: tr. 21-29222HOÀNG PHƯƠNG HÀ - TRƯƠNG MINH ĐỨCTIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI DƯỚI DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỆ HAIMODEXét hai mode của trường điện từ, trong đó a và a+ tương ứng là các toán tử hủy và sinhcủa mode thứ nhất, b và b+ tương ứng là các toán tử hủy và sinh của mode thứ hai. Tađịnh nghĩa các toán tử trong biễu diễn của đại số Lie SU(2) dưới dạng như sauL1 = ab+ + a+ b, L2 = i(ab+ − a+ b), L3 = a+ a + b+ b.(1)Bằng việc tính toán các bất định(∆L1 )2 và (∆L2 )2 của các biến quan sát được L1 và L2 ,sau đó cộng chúng lại ta được®®®®(∆L1 )2 + (∆L2 )2 = 2 ab+ a+ b + 2 a+ bab+ − 4 ab+ a+ b®= 2 h(Na + 1)Nb i + 2 hNa (Nb + 1)i − 4| a+ b |2 ,(2)trong đó Na = a+ a , Nb = b+ b.Giả sử rằng các trạng thái mà ta đang xét là tích của một trạng thái trong mode a và mộttrạng thái khác trong mode b. Thế thì từ phương trình (2) ta có ®(∆L1 )2 + (∆L2 )2 = 2[h(Na + 1)i hNb i + hNa i h(Nb + 1)i − 2| a+ hbi |2 ].(3)Chú ý rằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ta ® ®| a+ |2 ≤ hNa i , | b+ |2 ≤ hNb i ,(4)từ đó ta suy ra đối với một trạng thái tích thì(∆L1 )2 + (∆L2 )2 ≥ 2(hNa i + hNb i).(5)Bất đẳng thức này có thể được mở rộng cho bất kỳ một trạng thái nào trên cơ sở sử dụngPkết quả của Hofmann và Takeuchi [7]. Đối với ma trận mật độ ρ = pm ρm và biến quanmsát được S, ta có(∆S)2 ≥Xpm (∆Sm )2 ,(6)mtrong đó ρ là ma trận mật độ của trạng thái tổng, ρm là ma trận mật độ tương ứng vớiPmột trạng thái tích và pm là xác suất tìm thấy ρm với điều kiện là m pm = 1, (∆Sm )2là độ bất định của S được tính trong từng trạng thái ρm . Nếu trạng thái tổng ρ chia táchđược thì các trạng thái thành phần ρm có thể được phân tích thành tích các trạng thái màbất đẳng thức (5) vẫn đúng đối với các trạng thái này. Vậy thì bất đẳng thức (6) chứngtỏ rằng bất đẳng thức (5) vẫn đúng cho trạng thái tổng. Do vậy, bất đẳng thức (5) có giátrị cho bất kỳ một trạng thái chia tách được nào.TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI DƯỚI DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC CHO...23Xét hệ thức bất định mà hai toán tử L1 và L2 tuân theo,∆L1 ∆L2 ≥ |h(Na − Nb )i| .(7)(∆L1 )2 + (∆L2 )2 ≥ 2 |h(Na − Nb )i| .(8)Điều này chứng tỏ rằng:Kết quả này đúng cho bất kỳ một trạng thái nào. So sánh kết quả này với bất đẳng thức(5) mà đúng cho các trạng thái chia tách được, ta thấy vế phải của bất đẳng thức (8) luônluôn nhỏ hơn hoặc bằng vế phải của bất đẳng thức (5). Kết quả là có những trạng thái viphạm bất đẳng thức (5) nhưng lại thỏa mãn bất đẳng thức ( 8), chẳng hạn như trạng tháiBell.Từ điều kiện (5) ta suy ra®| a+ b | ...