Tính chính quy của một lớp phương trình loại Rayleigh-Stokes có trễ

Bài viết Tính chính quy của một lớp phương trình loại Rayleigh-aStokes có trễ đưa ra một số giả thiết cụ thể để có tính chính quy của một lớp phương trình loại Rayleigh-Stokes có trễ. Cụ thể hơn, bài viết sẽ đưa ra điều kiện để bài toán có duy nhất một nghiệm cổ điển.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tính chính quy của một lớp phương trình loại Rayleigh-Stokes có trễTuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 TÍNH CHÍNH QUY CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH LOẠI RAYLEIGH-STOKES CÓ TRỄ Vũ Nam Phong1, Nguyễn Ngọc Huy1 1 Trường Đại học Thủy lợi, email: phongvn@tlu.edu.vn1. GIỚI THIỆU CHUNG  (t )   (1  t ) (t )  0, t  0 (4)  với Ta xét bài toán (*):  (0)  1 (5) t u  (1  t )u  f (t , u ) trong , t  0 (1)  là hàm vô hướng,  và  là tham số dương. Gọi  (,  ,  ) là nghiệm của bài toánu  0 trên , t  0 (2)u ( x, s)   ( x, s), x  , s  [h,0], (4)-(5) ứng với cặp tham số  ,  ,  (,  ,  ) (3) sẽ giúp ta biểu diễn nghiệm của bài toán (*).trong đó   0,   (0,1) và t là đạo hàm Đặt f  g là kí hiệu cho tích chập Laplace,Riemann-Liouville bậc  được định nghĩa: nghĩa là: t d t t  1 ( f  g )(t )   f (t  s ) g ( s )ds, f , g  L1loc (R  ) .t v (t )   g1 (t  s)v ( s) ds , g  (t )  0 dt 0 (  )  Gọi { } là cơ sở trực chuẩn của L2 () n n 1với   0, t  0 . Trong bài toán (*), u được chứa các hàm riêng của toán tử Laplace xác định bởi: u  ( x, t )  u ( x, t   (t )) với hàm ứng với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất, liên tục trên R  thỏa mãn h  t   (t )  t tức là:  n  n n trong  ,  n  0 trênvà lim(t   (t ))   ; f : R   L2 ( )  L2 ( )  , ở đây có thể giả sử {n }n1 là dãy tăng, t là ánh xạ phi tuyến và đã cho trước hàm n  0 và n   khi n   . Ta biểu diễn   Ch  C ([h,0]; L2 ()) .  ( x )    n n ( x ) và S (t ) : L2 ()  L2 () là Trong những năm gần đây, lớp phương n 1 trình loại Rayleigh-Stokes nhận được nhiều toán tử xác định bởi S (t )    (t , n ,  ) n .sự quan tâm ([2]) vì có thể mô tả một số vấn n 1đề trong cơ học chất lưu. Không những thế, Đặt CT  C ([0, T ]; L2 ()) , xét toán tử Cauchytrong thực tế, điều kiện trễ (3) ứng với những tgì xảy ra trước khi xét (1) cũng thu hút nhiều Q : CT  CT , Q( f )(t )   S (t  s ) f ( s)ds . Ta 0sự chú ý. Mặc dù sự xuất hiện của hàm trễ sử dụng kí hiệu ||  || cho chuẩn sup trong CT ,gây khó khăn khi chứng minh tính chính quy tức là f   sup f (t ) .nhưng bài báo này sẽ xem xét tính chính quy t[0,T ]của một lớp phương trình loại Rayleigh- Mệnh đề 2.1. [1, 2] Giả sử  là nghiệmStokes có trễ. Cụ thể hơn, bài báo sẽ đưa ra của bài toán (4)-(5). Khi đó:điều kiện để bài toán có duy nhất một nghiệm i,  (t )  1 t  0 và  không tăng;cổ điển. ii, (1) n  ( n ) (t )  0 t  0, n  ¥ ;2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU iii,  (t )   1 min{t 1 , t  1} t  0 ; t 1 Ta xét bài toán đơn giản hơn bài toán (*): iv,   (s)ds   (1   (t )) t  0 ; 0 62 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0v, hàm  a  (t ,  ,  ) không tăng trên [0, ) . Chứng minh: Có f (t , v)  L(r ) v t  0 , 2 Bổ đề 2.2. [1, 2] Với bất kì u  L () , có: v  L2 (), v  r từ (F2). Gọi Br là hìnhi, S ()u CT  C ([0, T ]; H 2 ()  H 01 ()) ; cầu trong CT với tâm tại gốc, bán kính r. Xétii, S (t )u   (t , 1 ,  ) u , S (t )  1 t  0 ; toán tử  : Br  CT được xác định bởi tiii, S ()u  C ( m) ((0, T ]; L2 ()) m  ¥ ; t  0 (u)(t )  S (t ) (0)   S (t  s) f (s, u[ ] (s))ds 0có S ( m) (t )u   t m u với hằng số dương  ;  u1 (t )  u2 (t ) . Dễ thấy:  là liên tục, ...