Tính duy nhất của nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier - Stokes trong không gian ba chiều

Bài viết Tính duy nhất của nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier - Stokes trong không gian ba chiều trình bày nghiệm mềm của hệ phương trình Navier-Stoke; Tính duy nhất nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tính duy nhất của nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier - Stokes trong không gian ba chiều TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH Tính duy nhất của nghiệm mạnh cho hệ phƣơng trình Navier - Stokes trong không gian ba chiều Vũ Thị Thùy Dƣơng*, Nguyễn Thị Thu Hƣơng Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh *E-mail: vuthuyduong309@gmail.com Tóm tắt: Bài báo trình bày kết quả về tính duy nhất của nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier-Stokes trong không gian ba chiều. Giả sử u  L   0,T  ; L2  3   là một nghiệm mềm của hệ phương trình Navier–Stokes với giá trị ban đầu u0  L2  3  . Khi đó, u là nghiệm yếu theo nghĩa Leray duy nhất liên kết với u0 trên  0,T  nếu thỏa mãn điều kiện theo định lý duy nhất của Serrin và Von Wahl. Từ khoá: Hệ phương trình Navier-Stokes, nghiệm mạnh, tính duy nhất nghiệm. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Hệ phương trình Navier-Stokes là một trong những hệ phương trình Parabolic phi tuyến nổi tiếng và rất được sự quan tâm của những nhà toán học trên thế giới. Lớp phương trình này xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng, không khí, dầu mỏ,... dưới điều kiện tổng quát. Chúng cũng xuất hiện trong nhiều nghiên cứu quan trọng về khoa học kỹ thuật như: Khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lý plasma…, xem [4]. Hiện nay, có rất nhiều các nghiên cứu về các tính chất định tính của nghiệm như: Sự tồn tại, tính duy nhất, độ trơn và dáng điệu tiệm cận cho các loại nghiệm của hệ phương trình Navier- Stokes. Bài báo trình bày hai kết quả về tính duy nhất của nghiệm yếu u trong không gian ba chiều với giá trị ban đầu u0  L2  3  và nghiệm u thỏa mãn các điều kiện trong định lý duy nhất của Serrin và định lý duy nhất của Von Wahl. 2. NỘI DUNG 2.1. Nghiệm mềm của hệ phƣơng trình Navier-Stokes Trước khi giới thiệu và thiết lập các hàm bổ trợ thích hợp, ta sẽ biến đổi hệ phương trình Navier-Stokes thành hệ phương trình toán tử như sau:  du   u   P.  u  u  , t  0,  dt  2.1 u  0, x   u0  x  , x  3 ,  trong đó, với các vectơ u và v, ta định nghĩa tích tensor của chúng u  v bởi hệ thức  u  v ij  ui v j và P là toán tử chiếu trực giao vào trường vectơ phân kỳ tự được định nghĩa như dưới đây, xem [1].  Ta đặt: D j  i , j  1, 2,3; i 2 =  1,  2.2  x j 1 và ta ký hiệu biến đổi Riesz bởi R j  D j    2 , j  1, 2,3.   2.3 Đối với một trường vectơ tùy ý u  x    u1  x  , u2  x  , u3  x   trên 3 , ta đặt Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022 257 TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH 3 z  x     Rk uk  x   2.4  k 1 và định nghĩa toán tử P bởi  Pu  j  x   u j  x    R j z   x     jk  R j Rk  uk , j=1,2,3. 3  2.5 k 1 Một cách tương đương khác để xác định P là việc sử dụng các tính chất của biến đổi Fourier và viết   j k    j       jk  3 Pu uk   , j=1,2,3.  2.6     2   k 1 Như vậy, P là một toán tử giả vi phân và là một phép chiếu trực giao vào hạch của toán tử phân kỳ. Nói cách khác áp suất p trong  2.1 đảm bảo rằng điều kiện không nén được cho u  .u   0 được thỏa mãn. Cuối cùng, sử dụng toán tử chiếu P này và nửa nhóm S  t   et  ,  2.7  ta có thể đưa phương trình toán tử  2.1 thành phương trình tích phân như sau t u  t   etu0   e(t  s )  P   u  u (s)ds  2.8 0 Ta sẽ bắt đầu từ phương trình tích phân  2.8 và chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm u  t , x  của nó. Ở đây, ta chỉ xét trường hợp cả không gian 3 nên nửa nhóm Stokes S  t  trở thành nửa nhóm của phương trình truyền nhiệt et  . Nghiệm của bài toán là tổng của hai nghiệm sau: số hạng tuyến tính có chứa giá trị ban đầu S  t  u0 : et u0 ...