Toán đạo hàm và tích phân

Chương 1Lý thuyết1.1 Các định lý về giá trị trung bìnhĐịnh lý 1.1.1 (Fecmat). Cho hàm f xác định trên (a, b) và c ∈ (a, b). Nếu f đạtcực trị địa phương tại c và f0(c) tồn tại thì f0(c) = 0
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán đạo hàm và tích phânChương 1Lý thuy t1.1 Các đ nh lý v giá tr trung bìnhĐ nh lý 1.1.1 (Fecmat). Cho hàm f xác đ nh trên (a, b) và c ∈ (a, b). N u f đ tc c tr đ a phương t i c và f (c) t n t i thì f (c) = 0.Đ nh lý 1.1.2 (Rolle). Cho hàm f liên t c trên [a, b] và kh vi trên (a, b). N uf (a) = f (b) thì t n t i c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0.Đ nh lý 1.1.3 (Lagrange). Cho hàm f liên t c trên [a, b] và kh vi trên (a, b).Khi đó t n t i c ∈ (a, b) sao cho f (a) − f (b) f (c) = . a−bĐ nh lý 1.1.4 (Cauchy). Cho hai hàm s f và g liên t c trên [a, b], kh vi trên(a, b). Khi đó t n t i c ∈ (a, b) sao cho [f (b) − f (a)]g (c) = [g (b) − g (a)]f (c).Đ nh lý 1.1.5 (Darboux). Cho hàm f kh vi trên (a, b) và c, d ∈ (a, b). Khi đóf nh n m i giá tr trung gian gi a f (c) và f (d).1.2 Khai tri n Taylor và quy t c L’HospitalĐ nh lý 1.2.1. N u hàm s f : (a, b) → R có các đ o hàm đ n c p n − 1 trên(a, b) và có đ o hàm c p n t i đi m x0 ∈ (a, b) thì v i h đ nh ta có f (n) (x0 ) n f (x0 ) f (x0 ) 2 h + o(hn ). f (x0 + h) = f (x0 ) + h+ h + ... + 1! 2! n!Ph n dư o(hn ) đư c g i là ph n dư Peano. 1Đ nh lý 1.2.2. Cho hàm f xác đ nh trên [a, b] và x0 là m t đi m c đ nh trên[a, b]. Gi s f có đ o hàm đ n c p n liên t c trên [a, b] và có đ o hàm c p n + 1trên kho ng (a, b). Khi đó v i m i x ∈ [a, b], t n t i c n m gi a x và x0 sao cho f (n) (x0 ) f (n+1) (c) f (x0 ) (x − x0 )n + (x − x0 )n+1 . (x − x0 ) + . . . +f (x) = f (x0 ) + 1! n! (n + 1)! Bi u th c f (n+1) (c) (x − x0 )n+1 Rn = (n + 1)!đư c g i là ph n dư trong công th c khai tri n Taylor (đ n b c n + 1) c a hàmf t i x0 . Ph n dư này đư c g i là ph n dư d ng Lagrange.Đ t h = x − x0 và g i θ ∈ (0, 1) là s sao cho c = x0 + θh ta có f (n) (x0 ) n f (n+1) (x0 + θh) n+1 f (x0 ) f (x0 ) 2f (x0 + h) = f (x0 ) + h+ h +...+ h+ h. 1! 2! n! (n + 1)!N u hàm f th a mãn các gi thi t trong đ nh lý trên thì t n t i s c n m gi ax và x0 sao cho f (n) (x0 ) f (n+1) (c ) f (x0 ) (x − x0 )n + (x − x0 )(x − c )n . (x − x0 )+ . . . ++f (x) = f (x0 )+ 1! n! (n + 1)! Bi u th c f (n+1) (c ) (x − x0 )(x − c )n Rn = (n + 1)!đư c g i là ph n dư d ng Cauchy. Hi n nhiên là Rn = Rn .Đ t h = x − x0 và g i θ ∈ (0, 1) sao cho x = x0 + θ h ta có f (n) (x0 ) n f (n+1) (x0 + θ h) f (x0 ) (1 − θ )n hn+1 .f (x0 + h) = f (x0 ) + h + ... + h+ 1! n! (n + 1)!Đ nh lý 1.2.3. Gi s f và g là hai hàm s xác đ nh và có đ o hàm h u h ntrên (a, b) {x0 }, x0 ∈ (a, b). N u 1. lim f (x) == lim g (x) = 0, x→x0 x→x0 f (x) = L (L ∈ R ho c L = ±∞), 2. lim x→x0 g (x) f (x)thì lim = L. x→x0 g (x) V i nh ng gi thi t thích h p, quy t c này cũng đúng cho gi i h n m t phía, ∞gi i h n vô t n, và gi i h n có d ng vô đ nh . ∞ 21.3 M i liên h gi a nguyên hàm và tích phân xác đ nhGi s f là m t hàm kh tích trên [a, b]. Khi đó v i m i x ∈ [a, b], f kh tích trên[a, b] và ta xác đ nh đư c hàm s −→ F: [a, b] R ...