Toán học lớp 10: Bất đẳng thức Côsi (Phần 3) - Thầy Đặng Việt Hùng

Tài liệu "Toán học lớp 10: Bất đẳng thức Côsi (Phần 3) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp 1 số bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về bất đẳng thức Côsi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán học lớp 10: Bất đẳng thức Côsi (Phần 3) - Thầy Đặng Việt HùngKhóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI – P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]DẠNG 3. KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠIĐiểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra.Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâmKhi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biênCăn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong cáctrường hợp trên.Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = 3 .Chứng minh rằng: 3 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a ≤ 33 3 Lời giải:Phân tích:Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi: a + 2b = 3  a = b = c = 1 ⇒ b + 2c = 3 c + 2a = 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 (a + 2b ) + 3 + 3 6 + a + 2b a + 2b = 3 3 (a + 2b ).3.3 ≤ 3 13 = (1) 9 9 3 33 9 6 + b + 2c3 b + 2c ≤ (2) 33 9 6 + c + 2a3 c + 2a ≤ (3) 33 9Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 18 + 3(a + b + c )3 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a ≤ 3 = 33 3 (đpcm) 3 9Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 (*).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 2 + b 2 + c 2 Lời giải:Phân tích: Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức a 2 + b 2 + c 2 và a + b + c gợi cho ta sử dụng bất đẳngthức Cauchy để hạ bậc a 2 + b 2 + c 2 . Nhưng ta cần áp dụng cho bao nhiêu số và là những số nào? Căn cứ vàobậc của các biến số a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thứcCauchy lần lượt cho a 2 , b 2 và c 2 cùng với 1 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện a, b và c . Doa, b, c dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a = b = c , từ (*) ta có 1 a = b = c = . Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau. 3Khi đó ta có lời giải như sau:Lời giải: 1Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số: a 2 và ta có: 9 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 1 2 1 1a2 + ≥ 2 a 2 . = a (1) Dấu “=” xảy ra ⇔ a 2 = ⇔ a = 9 9 3 9 3Tương tự: 1 2 1b2 + ≥ b (2) Dấu “=” xảy ra ⇔ b = 9 3 3 1 2 1c2 + ≥ c (3) Dấu “=” xảy ra ⇔ c = 9 3 3Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:a 2 + b 2 + c 2 + ≥ (a + b + c ) = ⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≥ . 1 2 2 1 3 3 3 3 1Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = 3 1Vậy GTNN của A là 3Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa ab + bc + ca = 3 . CMR: a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3 Lời giải:Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:a 3 + b 3 + 1 ≥ 33 a 3b 3 = 3ab (1) ; b 3 + c 3 + 1 ≥ 3bc (2) ; c 3 + a 3 + 1 ≥ 3ca (3)Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: ( )2 a 3 + b 3 + c 3 + 3 ≥ 3(ab + bc + ca ) ( )⇔ 2 a + b + c 3 + 3 ≥ 3.3 3 3⇔ a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3 (đpcm)Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. a2 b2 c2 a+b+cChứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ 2b + c 2c + a 2a + b 3 Lời giải:Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 2b + c a 2 2b + c 2a + ≥2 . = (1) ; 2b + c 9 2b + c 9 3 b2 2c + a 2b c2 2 a + b 2c + ≥ (2) ; + ≥ (3) 2c + a 9 3 2a + b 9 3Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: a2 b2 c2 3(a + b + c ) 2(a + b + c ) + + + ≥2b + c 2c + a 2a + b 9 3 a 2 b 2 c 2 a+b+c⇒ + + ≥ (đpcm) 2b + c 2c + a 2a + b 3Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta s ...