Tỷ số kép cảu hàng điểm điều hòa luyện thi

[1]T s kép c a hàng đi m và áp d ngNguy n Đình Thành Công , Nguy n Phương Mai1. M t s khái ni m v t s kép c a hàng đi m, hàng đư ng th ngĐ nh nghĩa 1.1. Cho 4 đi m A, B, C, D n m trên m t đư ng th ng. Khi đó t s kép c a A, B, C, D (ta AC BC : và ta kí hi u chú ý t i tính th t ) đư c đ nh nghĩa là AD BD AC BC (ABCD)...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tỷ số kép cảu hàng điểm điều hòa luyện thi [1] T s kép c a hàng đi m và áp d ng Nguy n Đình Thành Công , Nguy n Phương Mai1. M t s khái ni m v t s kép c a hàng đi m, hàng đư ng th ngĐ nh nghĩa 1.1.Cho 4 đi m A, B, C, D n m trên m t đư ng th ng. Khi đó t s kép c a A, B, C, D (ta AC BCchú ý t i tính th t ) đư c đ nh nghĩa là : và ta kí hi u AD BD AC BC(ABCD) = : AD BD AC BC(Chú ý: Trong trư ng h p : = −1 ta nói A, B, C, D là hàng đi m đi u hòa và kí AD BDhi u (ABCD)=-1)T đ nh nghĩa suy rai.(ABCD) = (CDAB) = (BADC) = (DCBA) 1 1ii.(ABCD) = = (BACD) (ABDC)iii.(ABCD) = 1 − (ACBD) = 1 − (DBCA)iv.(ABCD) = (A BCD) ⇔ A ≡ A (ABCD) = (AB CD) ⇔ B ≡ B v.(ABCD) ≠ 1Đ nh nghĩa 1.2. Phép chi u xuyên tâm.Cho (d). S ngoài (d). V i m i đi m M, SM c t (d) t i M’(M không thu c đư ng th ngqua S song song (d)). V y M→M’ là phép chi u xuyên tâm v i tâm chi u S lên (d)Ti p theo ta s phát bi u m t đ nh lí quan tr ng v phép chi u xuyên tâmĐ nh lí 1.3. Phép chi u xuyên tâm b o toàn t s képCh ng minh.Trư c h t ta c n phát bi u m t b đB đ 1.3.1.Cho S. A, B, C, D thu c (d). T C k đư ng th ng song song SD c t SA, SB t i A’, B’. CA Khi đó (ABCD) = CB [2]Th t v y theo đ nh lí Talet ta có: CA DA AC DB CA DS CA (ABCD) = : = : = : = CB DB AD CB DS CB CB Tr l i đ nh lí ta có CA C1A (ABCD) = = = (A1B1C1D1) (d.p.c.m) CB C1BNh n xét: A, B, C, D là hàng đi m đi u hòa ⇔ C là trung đi m A’B’T đ nh lí 1.3 ta có các h qu :H qu 1.3.2.Cho 4 đư ng th ng đ ng quy và đư ng th ng ∆ c t 4 đư ng th ng này t i A, B, C, D. khiđó (ABCD) không ph thu c vào ∆H qu 1.3.3.Cho hai đư ng th ng ∆1 , ∆ 2 c t nhau t i O. A, B, C ∈ ∆1 , A , B , C ∈ ∆ 2 . Khi đó:(OABC) = (OA B C ) ⇔ AA , BB , CC đ ng quy ho c đôi m t song songCh ng minh.TH1. AA’, BB’, CC’ song song BO CO B O C O⇒ : = : BA CA B A C A⇒ (OABC) = (OA BC )TH2. AA’, BB’,CC’ không đôi m t song đ t AA ∩ BB = S,SC ∩ ∆ = C .Ta có:(OA BC ) = (OABC) = (OA BC)⇒ (OA BC ) = (OA BC)⇒ C ≡ C V y AA’, BB’, CC’đ ng quyH qu 1.3.4.Đ nh nghĩa 1.4 [3]Cho b n đư ng th ng a, b, c, d đ ng quy t i S. M t đư ng th ng (l) c t a, b, c, d t i A, B,C, D. Khi đó t s kép c a chùm a, b, c, d b ng t s kép c a hàng A, B, C, D.T đây ta suy ra: sin(OA, OC) sin(OB, OC)(abcd) = (ABCD) = : sin(OA, OD) sin(OB, OD)Tính ch t trên là m t tính ch t quan tr ng, r t có l i trong vi c gi i các bài toánChú ý: Chùm a, b, c, d là chùm đi u hòa ⇔A, B, C, D là hàng đi m đi u hòaTính ch t 1.5.Cho chùm đi u hòa (abcd)N u b⊥d ⇔ b, d là phân giác các góc t o b i a và cCh ng minh.- N u b, d là phân giác góc t o b i a, c suy ra đi u ph i ch ng minh- N u b⊥d. T C k đư ng th ng song song OD. Do (abcd)=-1 nên MC = MN suy ra b, dlà phân giác góc COATính ch t 1.6.Cho O và O’ n m trên d. Các đư ng th ng a, b, c đ ng quy t i O, a’, b’, c’ đ ng quy t iO’. a ∩ a = A, b ∩ b = B, c ∩ c = C . Ch ng minh r ng A, B, C th ng hàng ⇔( abcd ) = ( a’b’c’d )Ch ng minh. Xét AC ∩ d = K2. M t s ví dChú ý : Trong m t s bài toán có nh ng trư ng h p đơn gi n như các đư ng th ng songsong v i nhau, ch ng minh các trư ng h p này tương đ i đơn gi n, xin b qua2.1.Cho t giác ABCD. E = AB ∩ CD, F = AD ∩ BC, G = AC ∩ BD . EF ∩ AD, AB = M, N .Ch ng minh r ng (EMGN) = −1 .Ch ng minh. [4]Xét phép các phép chi u:A: E → B, G → C, M → F, N → N ⇒ ( EGMN ) = ( BCFN )D: E → C, G → B, M → F, N → N ⇒ (EGMN) = (CBFN)⇒ ( BCFN ) = (CBFN) 1⇔ (BCFN) = (BCFN)⇔ (BCFN) = −1 (do (BCFN) ≠ 1 )V y ( EGMN ) = −1 (d.p.c.m)Nh n xét: T 2.1 ta suy ra bài toán: Cho tam giác ABC. D, E, F thu c các c nh BC, CA,AB. EF ∩ BC = M . Ta có: AD, BE, CF đ ng quy ⇔ (ABDM) = −12.2.Cho t giác ABCD. AC ∩ BD = O . M t đư ng th ng (d) đi qua (O).(d) ∩ A, B, C, D = M, N, P, Q . Ch ng minh r ng: ( MNOP ) = ( MOQP )Ch ng minh.Xét các phép chi u: [5]A : M → J, O → C, Q → D, P → P ⇒ (MOQP) = ( JCDP )B : M → J, N → C, O → D, P → P ⇒ (MNOP) = ( JCDP )V y ( MNOP ) = ( MOQP )Nh n xét : T 2.2 ta suy ra bài toán sau:Cho t giác ABCD. AC ∩ BD = O . M t đư ng th ng (d) đi qua (O).(d) ∩ A, B, C, D = M, N, P, Q . Ch ng minh r ng: O là trung đi m QH khi và ch khi O làtrung đi m MP.Bài toán trên chính là đ nh lí “con bư m” trong t giác.2.3.Cho t giác ABCD n i ti p đư ng tròn (O). S∈(O). Khi đó S(ABCD) = const (S(ABCD)là t s kép c a chùm SA, SB, SC, SDCh ng minh.Ta cóS(ABCD) sin(SA,SC) sin(SB,SC) sin(BA, BC) sin(AB, AC)= : = : sin(SA,SD) sin(SB,SD) sin(BA, BD) sin(AB, AD) AC BC= : = const (d.p.c.m) AD BD2.4.Cho t giác ABCD n i ti p đư ng tròn (O), AC ∩ BD = J .M t đư ng th ng (d) qua J ,(d) ∩ AB, CD, (O) = M, N, P, Q . Ch ng minh r ng: (QMJP) = (QJNP)Ch ng minh. [6]Theo 2.3 ta có:A(QBCP) = D(QBCP⇔ (QMJP) = (QJNP)Nh n xét. T 2.4 ta có bài toán sau:Cho t giác ABCD n i ti p đư ng tròn (O), AC ∩ BD = J .M t đư ng th ng (d) qua J ,(d) ∩ AB, CD, (O) = M, N, P, Q . Ch ng minh r ng: JM = JN ⇔ JP = JQBài toán trên chính là đ nh lí con bư m trong đư ng tròn2.5.Cho tam giác ABC. AD, BE, CF đ ng quy, EF ∩ AD = L . T L k đư ng th ng vuônggóc BC t i H. Ch ng minh r nga. HL là phân giác FEHb. Đư ng th ng qua L c t CA, CF t i ...