Ứng dụng biểu thức vectơ tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng trong hình chóp

Bài viết "Ứng dụng biểu thức vectơ tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng trong hình chóp" nhằm trình bày ứng dụng biểu thức vectơ về tính đồng phẳng của bốn điểm trong không gian để chuyển bài toán tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng trong hình chóp thành bài toán phân tích vectơ trên mặt đáy. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng biểu thức vectơ tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng trong hình chóp Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019ỨNG DỤNG BIỂU THỨC VECTƠ TÌM GIAO ĐIỂMCỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG TRONG HÌNH CHÓP Lê Quang Vũ Trường THPT Thọ Xuân 5, Thanh Hóa Tóm tắt nội dung Trong chương trình hình học không gian, ta khá hay bắt gặp tình huống cần phải tìmvị trí của giao điểm của một mặt phẳng với cạnh hình chóp. Cách tiếp cận bằng việc dựnghình đôi khi khá khó khăn từ việc dựng giao điểm đến việc tính toán tỉ lệ chia đoạn củađiểm đó. Trong nội dung bài viết nhỏ này, tôi xin trình bày một phương pháp tiếp cậnnhóm các bài toán trên bằng vectơ. Nhờ phương pháp, nhiều bài toán chúng ta sẽ khôngcần làm việc với các yếu tố không gian nữa, mà chỉ cần thiết lập các biểu thức vectơ trênmặt đáy của hình chóp. Bài viết này nhằm trình bày ứng dụng biểu thức vectơ về tính đồng phẳng của bốnđiểm trong không gian để chuyển bài toán tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳngtrong hình chóp thành bài toán phân tích vectơ trên mặt đáy1 Phát biểu và chứng minh định lýĐịnh lý 1.1. Cho tam giác ABC và điểm S bất kỳ. Điều kiện cần và đủ để điểm D thuộc −→ −→ − → − →mặt phẳng ( ABC ) là SD = x SA + ySB + zSC, trong đó x + y + z = 1.Chứng minh. −→ −→ Điều kiện cần: Vì hai vectơ AB và AC không cùng phương nên điểm D thuộc mặt −→ −→ −→phẳng ( ABC ) khi và chỉ khi AD = mAB + n AC −→ −→ − → −→ − → −→ −→ −→ −→ −→ ⇔ SD − SA = m SB − SA + n SC − SA ⇔ SD = (1 − m − n) SA + mSB + nSC. −→ −→ − → − → Đặt x = 1 − m − n, y = m, z = n thì SD = x SA + ySB + zSC, trong đó x + y + z = 1. Điều kiện đủ: −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −SD = xSA + ySB + zSC ⇔ SD = (1 − y − z) SA + ySB + zSC ⇔ SD − SA = → −→ − → −→ −→ −→ −→y SB − SA + z SC − SA ⇔ AD = y AB + z AC −→ −→ Mà hai vectơ AB và AC không cùng phương nên điểm D thuộc mặt phẳng ( ABC ). 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/20192 Áp dụng 1. Bài toán mở đầu Bài tập sách giáo khoa Hình học 11- Ban cơ bản có câu: Cho hình chóp S.ABCD cóđáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng ( P) cắt các cạnhSA, SB, SC, SD theo thứtự tạiK, L, M, N. SA SC SB SDChứng minh. + = + SK SM SL SNHướng dẫn giải. Lời giải 1. Ta có VSKLM + VSKN M = VSKLN + VSMLN S V V V ⇒ SKLM + SKN M = SKLN + SMLN S ABBC VSADC VSABD VSCBD SK SL SM SK SM SM SK SL SN SM SL SN ⇒ . . + . . = . . + . . Nhân 2 vế với SA SB SC SA SD SC SA SB SD SC SB SDSA SB SC SD . . . thì được đpcm.SK SL SM SN Lời giải 2. Ta có −→ −→ − → −→ −→ −→ −→ −→ − → − → SD −→ SA −→ AB = DC ⇔ SB − SA = SC − SD ⇔ SD = SA − SB + SC ⇔ .SN = .SK − SN SK SA − → SB − → SC −→SB − → SC −→ − → . SK − . SL + . SM .SL + .SM ⇔ SN = SK SL SD SM .SL SM SN SA − SB SC SL + SM SA SC SB Mà bốn điểm K, L, M, N đồng phẳng nên SK SD =1⇔ + = + SN SK SM SLSD (đpcm).SN3 Một số hướng phát triển3.1 Thay đổi đáy của hình chópVí dụ 3.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB//CD vàAB = x.CD. Một mặt phẳng ( P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD theo thứ tự tạiK, L, M, N. SA SC SB SDChứng minh: +x = ...