Ứng dụng các định lý tam thức bậc hai giai hpt

ĐẠI SỐ - BÀI 18 SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VÈ TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC2 Các định lý được sử dụng (với f (x) = ax + bx + c ; a ≠ 0) 2 1. af(x) 0 với mọi x ⇔ ∆ x = b − 4ac
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng các định lý tam thức bậc hai giai hptwww.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng ĐẠI SỐ - BÀI 18 SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VÈ TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2 Các định lý được sử dụng (với f (x) = ax + bx + c ; a ≠ 0) 21. af(x) > 0 với mọi x ⇔ ∆ x = b − 4ac < 0 . 22. af(x) ≥ 0 với mọi x ⇔ ∆ x = b − 4ac ≤ 0 . Nếu af(x) ≥ 0 với mọi x thì f(x) = 0 ∆ x = 9 ⇔  b  x = − 2a 3. Nếu tồn tại α sao cho af(α) < 0 thì f(x) có 2 nghiệm x1 , x 2 thỏa mãnx1 < α < x 2 .4. Nếu tồn tại α, β (α < β) sao cho f (α).f (β) < 0 thì f(x) có một nghiệm thuộc (α; β) và một nghiệm ngoài [α ; β].Thí dụ 1 : Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì 2 2 2 2 2 2với mọi x ta có : b x + (b + c − a )x + c > 0. 2 2Phân tích : Vế trái là tam thức bậc hai f(x) với hệ số của x là b > 0 nên cóngay lời giải. 2 2 2 2 2 2Giải : f(x) > 0 với mọi x ⇔ ∆ x < 0 ⇔ (b + c − a ) − 4b c < 0 ⇔(b 2 + c 2 − a 2 + 2bc)(b 2 + c 2 − a 2 − 2bc) < 0 2 2 2 2⇔ [(b + c) − a )][(b − c) − a ] < 0⇔ (b + c + a)(b + c − a)(b − c + a)(b − c − a) < 0⇔ (a + b + c)(b + c − a)(b + a − c)(c + a − b) > 0Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên bất đẳng thức cuối cùng hiểnnhiên đúng.Chú ý : Ngược lại, các bạn có thể chứng minh được nếu các số dương a, b, cthỏa mãn f(x) > 0 với mọi x thì a, b, c chính là độ dài 3 cạnh của một tam giác. 3Thí dụ 2 : Cho a > 36 và abc = 1.Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dụcwww.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng a2Chứng minh : + b 2 + c2 > ab + bc + ca (*) 3 1Phân tích : bc = nên bất đẳng thức cần chứng minh vì đối xứng với b và c anên có thể viết về dạng tam thức bậc hai đối với b + c. 2 a2 3Giải : (*) ⇔ (b + c) − a(b + c) + − >0 3 a  2 2 a2  a2 3  a a 3 − 36⇔  (b + c) − a(b + c) +  + − > 0 ⇔b + c −  + >0   4  12  a  2 12a 3Với a > 36 thì bất đẳng thức trên luôn đúng.Chú ý : Khi không muốn diễn đạt bởi ngôn ngữ biệt thức ∆ thì các bạn có thểdùng kỹ thuật tách bình phương như lời giải trên.Thí dụ 3 : Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có : 3cos A + cos B + cos C ≤ (**) 2 A+BPhân tích : Vì cosA + cosB = 2 cos 2 A−B C A−B 2Ccos = 2sin cos và cosC = 1 − 2 sin nên có thể làm xuất 2 2 2 2 Chiện tam thức bậc hai đối với sin . 2 C A−B C 3Giải : (**) ⇔ 2sin cos + 1 − 2sin 2 ≤ 2 2 2 2 2 C C A−B 1⇔ sin − sin cos + ≥0 ⇔ 2 2 2 4 2 C 1 A−B 1 2 A−B sin − cos  + sin ≥0 2 2 2  4 2Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi C 1 A−Bsin 2 = 2 cos 2sin A − B = 0 2Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dụcwww.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng A−B  π π C  πLưu ý ∈  − ;  và ∈  0;  thì hệ trên tương đương với A = B = 2  2 2 2  2C tức là tam giác ABC đều.Chú ý : Bài toán tổng quát cho bài trên là : Với x, y, z > 0 thì trong tam giác ABCbất kỳ ta có :cos A cos B cos C x 2 + y 2 + z 2 + + ≤ x y z 2xyzCác bạn có thể dùng kỹ thuật tam thức bậc hai hoặc công cụ véc-tơ để giảiquyết. Khi cho các giá trị cụ thể x, y, z (đặc biệt là x, y, z là độ dài 3 cạnh củamột tam giác) thì ta có vô số các bất đẳng thức cụ thể.Bài tập tương tự 1. Chứng minh với m ...