Ứng dụng lượng giác giải bài toán bất đẳng thức hình học - Hoàng Minh Quân

Nói đến bất đẳng thức nhiều bạn trong chúng ta thường quan tâm tới bất đẳng thức đại số mà ở đó có nhiều kĩ thuật để khai thác và chứng minh nhưng ngoài bất đẳng thức đại số thì chúng ta còn có cả bất đẳng thức hình học với những nét đẹp riêng của hình học trong đó .Bài viết sau đây sẽ trình bày phương pháp sử dụng lượng giác chứng minh bất đẳng thức hình học. Ở đó có sự kết hợp bao gồm cả các yếu tố lượng giác , bất đẳng thức cổ điển và các định lí cơ bản trong hình học phẳng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng lượng giác giải bài toán bất đẳng thức hình học - Hoàng Minh Quân Hoàng Minh Quân - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội Viết tặng Diễn Đàn Diendantoanhoc.net nhân dịp kỉ niệm sinh nhật lần thứ 8 (2004-2012) ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC Bất đẳng thức là một chủ đề đa dạng và hấp dẫn với nhiều bạn trẻ. Nói đến bấtđẳng thức nhiều bạn trong chúng ta thường quan tâm tới bất đẳng thức đại số mà ởđó có nhiều kĩ thuật để khai thác và chứng minh nhưng ngoài bất đẳng thức đại sốthì chúng ta còn có cả bất đẳng thức hình học với những nét đẹp riêng của hình họctrong đó .Bài viết sau đây sẽ trình bày phương pháp sử dụng lượng giác chứng minhbất đẳng thức hình học. Ở đó có sự kết hợp bao gồm cả các yếu tố lượng giác , bấtđẳng thức cổ điển và các định lí cơ bản trong hình học phẳng.Nhân dịp sinh nhật lần thứ 8 của diendantoanhoc.net . Mình chúc diễn đàn diendan-toanhoc.net nói riêng và các diễn đàn toán học nói chung sẽ ngày càng phát triển hơnnữa , giúp ích nhiều cho các em học sinh và giáo viên trong quá trình giảng dạy và họctập ngày càng tốt hơn.Do thời gian và trình độ có hạn nên bài viết chắc không tránh khỏi thiếu sót.Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: hoangquan9@gmail.com Hà Nội, ngày 15 tháng 1 năm 2012 Người viết Hoàng Minh Quân-batigoal.Hoàng Minh Quân 1 Hà Nội Trước hết chúng ta cùng nhắc lại một số đẳng thức và các bất đẳng thức lượng giácthường gặp trong tam giác. Việc chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bảnnày bạn đọc có thể tự chứng minh hoặc tham khảo thêm trong nhiều tài liệu về lượnggiác.I.Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác:Giả sử A, B, C là 3 góc của tam giác ABC.Khi đó với các điều kiện thỏa mãn, ta có:1. A B C cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin sin sin 2 2 22. A B C sin A + sin B + sin C = 4cos cos cos 2 2 23. sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C4. sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 + 2cosAcosBcosC5. A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan = 1 2 2 2 2 2 26. cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 17. tanA+ tan B + tan C = tanA tan B tan CII.Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác.Giả sử A, B, C là 3 góc của tam giác ABC.Khi đó với các điều kiện thỏa mãn, ta có:1. 3 cos A + cos B + cos C ≤ 22. A B C 3 sin + sin + sin ≤ 2 2 2 23. √ 3 3 sin A + sin B + sin C ≤ 24. √ A B C 3 3 cos + cos + cos ≤ 2 2 2 25. 1 cos A cos B cos C ≤ 86. A B C 1 sin sin sin ≤ 2 2 2 87. √ 3 3 sin A sin B sin C ≤ 88. √ A B C 3 3 cos cos cos ≤ 2 2 2 8Hoàng Minh Quân 2 Hà Nội9. A B C √ cot + cot + cot ≥ 3 3 2 2 210. √ tanA + tanB + tanC ≥ 3 311. ...