Vấn đề bất đẳng thức

Trong môn Toán ở trường THPT, bất đẳng thức ngày càng được quan tâmđúng mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo củaphương pháp và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy chongười giải.Các bài toán bất đẳng thức không những rèn luyện tư duy sáng tạo, tríthông minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học.Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức: phương pháp biến đổitương đương, phương pháp phản chứng, phương pháp quy nạp…Một điềuquan trọng...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Vấn đề bất đẳng thức MỞ ĐẦU Trong môn Toán ở trường THPT, bất đẳng thức ngày càng được quan tâmđúng mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo củaphương pháp và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy chongười giải. Các bài toán bất đẳng thức không những rèn luyện tư duy sáng tạo, tríthông minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học. Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức: phương pháp biến đổitương đương, phương pháp phản chứng, phương pháp quy nạp…Một điềuquan trọng là sử dụng các kỹ thuật biến đổi linh hoạt, phù hợp để chứngminh bài toán trong từng phương pháp nhằm có hiệu quả tốt nhất. Trong quá trình giảng dạy khi đứng trước một bài toán bất đẳng thức tácgiả thường đặt ra các câu hỏi: - Vai trò các biến trong bất đẳng thức như thế nào? - Dấu bằng xảy ra khi nào? - Bất đẳng thức có đồng bậc không? - Biểu thức nào “lớn”, ‘bé’ trong bất đẳng thức? - Công thức, đẳng thức nào liên quan đến bất đẳng thức? -… Việc trả lời các câu hỏi này giúp chúng ta định hướng cách giải, đánh giácác biểu thức, sử dụng công thức, bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hìnhthức của bất đẳng thức…để giải quyết bài toán. Trong bài viết này, tác giả đưa ra một số kỹ thuật, phương pháp chứngminh bất đẳng thức (bao gồm các ý tưởng, các ví dụ và bài tập). Lý thuyếtbất đẳng thức (các khái niệm, tính chất… ) không được trình bày. NỘI DUNGhttp://kinhhoa.violet.vn 1 Kỹ thuật thêm bớt1. A Sử dụng: A = A + B − B = B để tạo ra các bộ phận mới ở hai vế của bất B đẳng thức mà có thể đánh giá được các bộ phận với nhauCác ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: c2 a + b + c a2 b2 + + b+ c c+ a a+ b 2 Phân tích: - BĐT đồng bậc nhất - Vai trò a,b,c giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c - Biểu thức thêm vào là bậc nhất Hướng dẫn: a2 b + c + 2a b+ c 4 Bài 2: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: a 2 + b2 + c 2 a3 b3 c3 + + b + 2c c + 2a a + 2b 3 Phân tích: - BĐT đồng bậc hai - Vai trò a,b,c giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c - Biểu thức thêm vào là bậc hai Hướng dẫn: a3 a(b + 2c) 2 2 + a b + 2c 9 3 ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 Bài 3: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: (1 + a3 )(1 + b3 )(1 + c3 ) (1 + ab2 )(1 + bc 2 )(1 + ca 2 ) Phân tích: - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c Hướng dẫn: ) ( (1 + a3 )(1 + b3 )(1 + b3 ) 1 + 3 a3b3c3 = ( 1 + ab2 ) 3 3Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a 5 b5 c5 1) 2 + 2 + 2 a 3 + b3 + c 3 bc ahttp://kinhhoa.violet.vn 2 a +b+c a3 b3 c3 + + 2) (b + c ) 2 ( c + a ) 2 ( a + b ) 2 4 a+b+c a3 b3 c3 + + 3) b(c + a ) c (a + b) a (b + c) 2 a4 b4 c4 + 2+ 2 a+b+c 4) bc 2 ca ab a+b+c a3 b3 c3 +2 +2 5) 2 a + ab + b 2 b + bc + c 2 c + ca + a 2 3 Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a 5 b5 c5 6) 4 + 4 + 4 1 bc a a b c 33 7) + + b+c c+a a +b 2 Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có: 1 1 1 + + 6 8) cosA cosB cosB 1 1 1 6 + + 9) 2 + cos2A 2 + cos2B 2 − cos2B 5 1 1 1 27 + + + cosA+cosB+cosC 10) cosAcosB cosBcosC cosCcosA 2 Kỹ thuật “san sẽ”2. Xác định: Đại lượng “lớn”, đại lượng “bé” và chọn cách san sẽ phù hợpCác ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y>0 và x+y=1, ta có:http://kinhhoa.violet.vn 3 1 1 + + 4 xy 7 x 2 + y 2 xy Phân tích: - Vai trò x,y giống nhau 1 - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=y= 2 1 1 ; Đại lượng “bé”: 2 2 ;4 xy ...