Về nghiệm nhớt của một dạng phương trình Hessian tại miền ngoài

Bài viết Về nghiệm nhớt của một dạng phương trình Hessian tại miền ngoài trình bày về khái niệm nghiệm nhớt của bài toán Dirichlet đó tại miền ngoài và kết quả về sự tồn tại nghiệm nhớt đối với bài toán đó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về nghiệm nhớt của một dạng phương trình Hessian tại miền ngoài Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 VỀ NGHIỆM NHỚT CỦA MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HESSIAN TẠI MIỀN NGOÀI Nguyễn Hữu Thọ Trường Đại học Thủy lợi, email:nhtho@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG (xem [3], [4] và một số tài liệu tham khảo Trong báo cáo này, tôi xét bài toán Dirichlet trong các bài báo đó). cho một dạng phương trình Hessian tại miền  Đặt:  k     n |  j (  )  0, j  1,2,...,k , ngoài. Tôi sẽ trình bày về khái niệm nghiệm dễ thấy nếu    k thì các hoán vị của  nhớt của bài toán Dirichlet đó tại miền ngoài cũng thuộc  k , và do đó  k là nón đối xứng. và kết quả về sự tồn tại nghiệm nhớt đối với Khi k  1 thì  k là nửa không gian: bài toán đó.    n  | 1  2    n  0 . 2. NỘI DUNG BÁO CÁO Còn nếu k  n , khi đó  k trở thành nón 2.1. Đặt vấn đề dương: Trong báo cáo này, tôi xét bài toán       n | i  0, i  1,2,..., n. Dirichlet cho phương trình Hessian tại miền Những định nghĩa sau đây sẽ được sử ngoài có dạng dụng trong báo cáo này.     k ( D 2u )  a, x   n \  (1) Định nghĩa 1.1 ([3]) Hàm u  C 2   n \   u( x )   ( x ), x   (2) được gọi là k  lồi nếu  ( D 2u )   k với mọi ở đây    n là miền bị chặn và 0   , x   n \ .   C 2    , a là số thực dương cho trước. Từ định nghĩa về nghiệm nhớt của phương Hơn nữa: trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 2 (xem    k  ( D 2u )   i1 ...ik , k  1,2,...,n trong [2]) tôi đề xuất định nghĩa nghiệm nhớt i1...ik cho bài toán (1)-(2) như sau: là các đa thức cơ bản đối xứng bậc k của Định nghĩa 1.2   D 2u    1 ,..., n  : các giá trị riêng của ma a) Hàm u  C 0   n \   được gọi là trận Hessian D 2u. nghiệm nhớt dưới của (1) nếu với Phương trình Hessian (1) là một lớp y  n \  ,   C 2 (  n \  ) thỏa mãn phương trình quan trọng của lớp các u ( x)   ( x), x   n \ ; u ( y )   ( y ), thì ta có phương trình elliptic hoàn toàn phi tuyến. Khi k  1 thì phương trình (1) trở thành  k   ( D 2 ( y ))   a. phương trình Poisson u  a , với k  n thì b) Hàm u  C 0   n \   được gọi là (1) chính là phương trình Monge-Ampere det( D 2u )  a . Đã có nhiều kết quả nghiên nghiệm nhớt trên của (1) nếu với y   n \  , cứu về phương trình Hessian tại miền trong hàm k  lồi   C 2 ( n \ ) thỏa mãn 82 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 u ( x)   ( x), x   n \ ; u ( y )   ( y ), thì ta có và điều này mâu thuẫn với giả thiết u là   k ( D 2 ( y ))  a.  nghiệm nhớt dưới. 2.2. Kết quả chính c) Hàm u  C 0   n \   được gọi là Kết quả chính của báo cáo nói về sự tồn tại nghiệm nhớt của (1) nếu u vừa là nghiệm nghiệm nhớt cho bài toán Dirichlet đối với nhớt trên vừa là nghiệm nhớt dưới của (1). phương trình Hessian tại miền ngoài (1)-(2) d) Hàm u  C 0   n \   được gọi là và được phát biểu trong đinh lý dưới đây. nghiệm nhớt dưới (t.ư. nghiệm nhớt trên) Định lý 2.1 Với n  3 ,    n là miền của bài toán (1)-(2) nếu u là nghiệm nhớt C 2 bị chặn và lồi ngặt,   C 2 (  ) . Khi đó dưới (t.ư. nghiệm nhớt trên) của (1) và với x0   , tồn tại c0  0 sao cho với c  c0 u ( x)   ( x) (t.ư. u( x )   ( x )), x   . sẽ tồn tại hàm chấp nhận được Định nghĩa 1.3 ([3]) Hàm u  C 0   n \     u  C 0  n \  thỏa mãn (1)-(2) theo nghĩa được gọi là k  lồi theo nghĩa nhớt nếu: nhớt và  j   ( D 2u )   a trong  n \  , j  1,2 ,...,k. n2 R 02  ...