Bài giảng Chương 3: Tích phân đường (Phần 1)

Bài giảng Chương 3: Tích phân đường (Phần 1) bao gồm những nội dung về tham số hóa đường cong; định nghĩa tích phân đường loại 1; tính chất tích phân đường loại 1; cách tính tích phân đường loại 1.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Chương 3: Tích phân đường (Phần 1) Chương 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNGPhần 1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 NỘI DUNG1.Tham số hóa đường cong2.Định nghĩa tích phân đường loại 13.Tính chất tích phân đường loại 14.Cách tính tích phân đường loại 1 THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNGTổng quát: (C) viết dạng tham số: x = x(t), y = y(t)VD: 1/ Đoạn thẳng nối A(a1,a2) và B(b1,b2) x = a1 + t (b1 − a1 ) ,0 t 1 y = a2 + t (b2 − a2 ) x =t 2/ Đường cong y = f(x): y = f (t ) THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG3/ Đường tròn: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 x = a + R cos t � ,0 t 2π y = b + R sin t x2 y 24/ Ellipse: 2 + 2 = 1 a b x = a cos t � ,0 t 2π y = b sin t THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG 5/ Đường cong trong tọa độ cực: r = r( ) x = r (ϕ )cos ϕ y = r (ϕ )sin ϕ VD: đường tròn : r = 2sin có dạng tham số x = 2sin ϕ cos ϕ 2 ,0 ϕ π y = 2sin ϕLưu ý: hướng ngược chiều Kim đồng hồ làtham số tăngTHAM SỐ HÓA ĐC TRONG KHÔNG GIANB1: Chiếu đường cong lên mặt phẳng thíchhợpB2: Tham số hóa cho đường cong hìnhchiếu (trong mặt phẳng)B3: Tham số hóa cho biến còn lại Ví dụ1/ Tham số hóa cho giao tuyến của mặttrụ x2 + y2 = 4 và mặt phẳng z = 3Hình chiếu gtuyến lên mp Oxy là đtròn: x2 + y 2 = 4 Vậy dạng tham số là: x = 2cos t , y = 2sin t , z = 32/ Tham số hóa cho giao tuyến của mặtcầu x2 + y2 + z2 = 6z và mặt phẳng z = 3 – xHình chiếu gtuyến của 2 mặt lên mp Oxy là : x2 + y2 + (3 – x)2 = 6(3 – x) 2x2 + y2 =9 3 3 x= cos t , y = 3sin t , z = 3 − cos t 2 2 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1Cho AB là đường cong hữu hạn trong mặtphẳng Oxy, f(x,y) xác định trên đường cong. B Phân hoạch cung AB thành những cung Ck, trên mỗi cungA Ck lấy Mk, lk là độ dài cung Ck, tính tổng tích phân n Sn = f (Mk )∆l k k =1 n Sn = f (Mk )∆l k k =1 f ( x , y )dl = lim Sn : tp đường loại 1 của f n AB trên ABTrong R3, tp đường loại 1 cũng định nghĩatương tự. TÍNH CHẤT TP ĐƯỜNG LOẠI 11/ Tp đường loại 1 không phụ thuộc chiềuđường đi 2 / L = 1dl = độ dài cung AB AB 3 / �c.fdl = c �fdl AB AB �(f + g )dl = �fdl + �gdl AB AB AB 5 / C = C1 �� C2 fdl = � � fdl + �fdl C C1 C2 CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI 1TH1: (C) viết dạng tham số: x = x(t), y = y(t), t1 t t2 t2� � f ( x , y )dl = f ( x (t ), y (t )) [ x (t ) ] 2 + [ y (t ) ] dt 2C t1TH2: (C) viết dạng y = y(x), a x b b f ( x , y )dl = f ( x , y ( x )) 1 + [ y ( x ) ] dx 2 � C � a CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI 1TH3: (C) viết dạng r = r( ), β� � 2 2 f ( x , y )dl = f (r cos ϕ , r sin ϕ ) r + r dϕC α (C) là đường cong trong không gian (C) viết dạng tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 t t2 t2 f ( x , y , z)dl = f ( x (t ), y (t ), z(t )) [ x (t ) ] + [ y (t ) ] + [ z (t ) ] dt 2 2 2�C � t1Lưu ý: nếu C = C1 C2 (trong R2 )đối xứngqua Oy • f lẻ theo x: f ( x , y )dl = 0 C • f chẵn theo x: � C � f ( x , y )dl = 2 f ( x , y )dl C1* Trên R3, xét tính đối xứng qua các mặttọa độ. Ví dụ1/ Tính I = ( x + y )dl C là biên tam C giác OAB, với O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0) A y1 + x x = = y 2O B 1 2 I= � OA ( x + y )dl + � AB ( x + y )dl + � OB ( x + y )dl A y OA: y = x, 0 x1 + x x 1 = = 2 2O y � 1+ y = 1+1 = 2 B 1 2 1OA �( x + y )dl = ( x + x ) 2dx � 0 2AB: ...