Bài giảng Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục theo thời gian dùng biến đổi Laplace

Bài giảng "Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục theo thời gian dùng biến đổi Laplace" cung cấp cho người học các kiến thức: Biến đổi Laplace, đặc tính của biến đổi Laplace, tìm nghiệm của phương trình vi phân và phương trình vi-tích phân, phân tích mạng điện, sơ đồ khối,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục theo thời gian dùng biến đổi Laplace CHƢƠNG 6: PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LIÊN TỤC THEO THỜI GIAN DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE Nội dung 6.1 Biến đổi Laplace 6.2 Đặc tính của biến đổi Laplace 6.3 Tìm nghiệm của phương trình vi phân và phương trình vi-tích phân 6.4 Phân tích mạng điện: sơ đồ toán tử 6.5 Sơ đồ khối 6.6 Thiết lập hệ thống 6.7 Ứng dụng vào phản hồi và điều khiển 6.8 Biến đổi Laplace hai bên 6.9 Phụ chương 6.1: Thực hiện dạng chính tắc thứ hai 6.10 Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Biến đổi Fourier là công cụ để biểu diễn tín hiệu f (t ) thành dạng tổng các hàm mủ dạng e jt , với tần số bị giới hạn trên trục ảo của mặt phẳng phức (s  j ) . Theo các chương 4 và 5 thì biểu diễn này đã đủ để phân tích và xử lý tín hiệu. Tuy nhiên, điều này chưa đủ khi phân tích hệ thống vì: (1) Biến đổi Fourier chỉ tồn tại trong một số lớp tín hiệu, và không dùng được với các ngõ vào tăng theo dạng hàm mủ. (2) Biến đổi Fourier không phân tích được các hệ thống không ổn định hay ở biên ổn định. 6.1 Biến đổi Laplace Nguyên nhân cơ bản của các khó khăn vừa nêu là do một số tín hiệu, như e t u (t ) (a  0) không có biến đổi Fourier do các sóng sin thông thường hay hàm mủ dạng e jt (chỉ quan tâm đến biên độ không đổi) không có khả năng tổng hợp được hàm mủ tăng theo thời gian. Vấn đề này được giải quyết khi dùng tín hiệu cơ bản (nền) dạng e st (thay cho hàm e jt ), khi đó tần số phức s không còn phải nằm trên trục ảo (như trường hợp biến đổi Fourier). Điều này thể hiện qua phép biến đổi mở rộng gọi là biến đổi Laplace hai bên, với biến tần số s  j được tổng quát thành s    j . Điều này cho phép ta dùng các hàm mủ tăng theo thời gian để tổng hợp tín hiệu f (t ) . Trước khi phát triển toán tử của phép mở rộng, ta cần tìm hiểu trực giác về quá trình tổng quat hóa này. 6.1- 1 Hiểu biết trực giác về biến đổi Laplace Tín hiệu f (t ) trong hình 6.1d không có biến đổi Fourier, ta lấy biến đổi Fourier bằng cách nhân tín hiệu với hàm mủ giảm dạng e t . Thí dụ, lấy biến đổi Fourier tín hiệu e 2tt u (t ) bằng cách nhân với hàm e t với   2 . Đặt:  (t )  f (t )e t Như vẽ ở hình 6.1a. Tín hiệu  (t ) có được biến đổi Fourier và các thành phần Fourier có dạng e jt với tần số  thay đổi từ    đến . Thành phần mủ e jt và e  jt thêm vào phổ tạo sóng sin tần số . Phổ chứa vô hạn các sóng sin, mỗi sóng có biên độ bé. Rất dễ lẫn lộn khi vẽ tất cả các dạng sóng này; do đó, hình 6.1b, chỉ vẽ hai thành phần tiêu biễu. Cộng tất cả các thành phần này (số lượng là vô hạn) cho ta lại  (t ) , vẽ ở hình 6.1a. Thành phần phổ của hàm mủ của  (t ) có dạng e jt , với tần số phức j nằm trên trục ảo từ    đến , vẽ ở hình 6.1c. Hình 6.1a vẽ tín hiệu  (t )  f (t )e t . Hình 6.1b vẽ hai trong số vô hạn các thành phần phổ, và hình 6.2c vẽ vị trí tần số của mọi thành phần phổ của  (t ) trên mặt phẳng phức. Vậy ta tìm lại tín hiệu mong muốn f (t ) bằng cách nhân  (t ) với et . Điều này cho phép tổng hợp f (t ) bằng cách nhân từng thành phần của nhân  (t ) với et rồi cộng tất cả lại. Nhưng khi nhân thành phần phổ của  (t ) (sóng sin trong hình 6.1b) với et tạo hàm sin tăng theo dạng mủ như vẽ ở hình 6,1e. Khi cộng tất cả các thành phần sóng sin tăng dạng mủ (số lượng là vô hạn) tạo lại f (t ) trong hình 6.1d. Thành phần phổ của  (t ) có dạng e jt . Khi nhân các thành phần này với et tạo ra thành phần phổ có dạng et e jt  e j (  j ) . Vậy, các thành phần tần số j trong phổ  (t ) được chuyển sang thành phần tần số   j trong phổ của f (t ) . Vị trí các tần số   j trong mặt phẳng phức nằm theo đường dọc, vẽ trong hình 6.1f. Rõ ràng là tín hiệu f (t ) có thể được tổng hợp dùng các hàm mũ tăng không dừng nằm dọc theo   j , với    đến . Giá trị của  rất mềm dẻo. Thí dụ, nếu f (t )  e 2t u(t ) , thì  (t )  f (t )e t có biển đổi Fourier khi chọn  > 2. Từ đó, có vô số cách chọn  . Điều này tức là phổ của f (t ) không độc nhất, với vô số khả năng tổng hợp f (t ) . Tuy nhiên,  có một số giá trị bé nhất  0 cho từng f (t ) . [  0  2 cho trường hợp f (t )  e 2t u(t ) ]. Vùng trong mặt phẳng phức cho    0 gọi là vùng hội tụ (hay vùng tồn tại) cho biến đổi của f (t ) Các kết luận rút ra từ phương pháp thử và sai sẽ được phân tích một cách giải tích như sau. Tần số j trong biến đổi Fourier sẽ được tổng quát thành s    j . 6.1- 2 Phân tích biến đổi Laplace hai bên Ta đã nhất quán biến đổi Fourier và biến đổi Laplace, nên cần dùng ý niệm F ( j ) thay cho F ( ) của trường hợp biến đổi Fourier, và được định nghĩa theo:  F ( j )   f (t )e  jt dt (6.1)   Và f (t )   F ( j )e jt d (6.2)  Xét biến đổi Fourier của f (t )e t ( số thực)  F[ f (t )e t ]   f (t )e t e  jt dt (6.3)   F[ f (t )e t ]   f (t )e (t  j )t dt (6.4)  Theo phương trình (6.1), thì các tích phân trên là F (  j ) , nên F[ f (t )e t ]  F (  j ) (6.5) Biến đổi Fourier nghịch 1  f (t )e t  2  ...