Ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải phương trình vật lí toán

Phép biến đổi Laplace đã được sử dụng để tìm nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả dao động của một sợi dây đồng chất và sự phân bố nhiệt độ trong thanh mảnh chiều dài hữu hạn, hai đầu mút biểu diễn bởi các hàm cho trước. Tính toán cho thấy, các nghiệm của phương trình trên có dạng giống như kết quả thu được khi sử dụng phương pháp tách biến Fourrier. Kết quả này chỉ ra rằng, có thể sử dụng phép biến đổi Laplace để tìm nghiệm của các phương trình vật lí toán với các điều kiện phức tạp nhằm hỗ trợ phương pháp tách biến Fourrier.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải phương trình vật lí toán Lê Thị Hải Yến và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 99(11): 69 - 72 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ TOÁN Lê Thị Hải Yến*, Đỗ Thi Thúy, Lê Thị Thu Hà, Nguyễn Hồng Lĩnh Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Phép biến đổi Laplace đã được sử dụng để tìm nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả dao động của một sợi dây đồng chất và sự phân bố nhiệt độ trong thanh mảnh chiều dài hữu hạn, hai đầu mút biểu diễn bởi các hàm cho trước. Tính toán cho thấy, các nghiệm của phương trình trên có dạng giống như kết quả thu được khi sử dụng phương pháp tách biến Fourrier. Kết quả này chỉ ra rằng, có thể sử dụng phép biến đổi Laplace để tìm nghiệm của các phương trình vật lí toán với các điều kiện phức tạp nhằm hỗ trợ phương pháp tách biến Fourrier. Từ khóa: tách biến Fourrier, biến đổi Laplace, điều kiện ban đầu, điều kiện biên. GIỚI THIỆU* Quá trình truyền nhiệt và dao động trong vật liệu là những vấn đề thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu ứng dụng và công nghệ. Một số phương trình dao động, truyền nhiệt của vật liệu có hình dạng đặc biệt thường được mô tả bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng [1-3]. Một trong những phương pháp tìm nghiệm phương trình vi phân kiểu này được nghiên cứu rất kỹ ở cấp đại học là phương pháp tách biến Fourier [4-6]. Tuy nhiên còn một số phương pháp khác ít được nhắc đến ở cấp đại học, chẳng hạn như phép biến đổi Laplace. Phép biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân. Qua phép biến đổi Laplace, các phương trình vi phân, đạo hàm riêng được chuyển thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Giải ra nghiệm là các hàm ảnh trong không gian thực p, chúng ta sử dụng phép biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc trong không gian thực t [6]. Việc hiểu và vận dụng tốt phương pháp biến đổi Laplace để tìm nghiệm các bài toán dao động và truyền nhiệt nhằm hoàn thiện hệ thống phương pháp giải phương trình vi phân đạo hàm riêng là một việc làm cần thiết và cũng là mục đích nghiên cứu của bài báo này. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN Trong không gian một chiều, phương trình đạo hàm riêng dưới dạng [1-3]: ∂2u ∂u ∂2u ∂u a 2 + b + cu + a1 2 + b1 = 0 , (1) ∂x ∂x ∂t ∂x * Tel: 01692 802793, Email: haiyenlyak44@gmail.com trong đó a, b, c, a1, b1 là những hàm liên tục của x, 0 ≤ x ≤ l , t > 0 Ta sẽ tìm nghiệm u(x,t) của phương trình (1) với 0 ≤ x ≤ l , t > 0 thỏa mãn điều kiện ban đầu và điều kiện biên: ∂u( x,0) = ψ ( x) , (2) ∂t ∂u(l, t ) ∂u(l, t ) u(0, t ) = f (t ),α +β = γ u(l, t ) ∂x ∂t Trong đó α , β , γ là những hằng số u( x,0) = ϕ ( x), Ký hiệu: ∞ U ( x, p) = ∫ u ( x, t )e− pt dt . 0 Hàm U(x,p) sẽ là ảnh laplace của hàm gốc u(x,t), ta có: ∞ ∂u .⇀ ∂u − pt ∂U và ↽ ∫ e dt = ∂x ∂x ∂x 0 ∞ ∂ 2u .⇀ ∂ 2u − pt ∂ 2U ↽ ∫ 2 e dt = 2 ∂x 2 ∂x ∂x 0 (3) Theo quy tắc vi phân hàm gốc và do điều kiện ban đầu, nên: ∂u .⇀ ↽ pU − ϕ ( x) ; ∂t ∂ 2 u .⇀ 2 p U − pϕ ( x ) − ψ ( x ) ↽ ∂t 2 Chúng ta đặt : F ( p) ↽.⇀ f (t ) ta có: (4)  ∂U  U x=0 = F( p), α + β ( pU −ϕ) = γ U x=l (5) ∂ t  x=l 69 Lê Thị Hải Yến và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ Sau đó thay (3), (4) vào phương trình (1), ta thu được phương trình toán tử cần tìm. Giải phương trình toán tử được nghiệm U(x,p) từ đây ta tìm được nghiệm u(x,t) của bài toán. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN Trong mục này chúng tôi áp dụng phép biến đổi Laplace để tìm nghiệm của các phương trình vi phân đạo hàm riêng (phương trình toán lí) mô tả quá trình truyền nhiệt của thanh mảnh và quá trình dao động của sợi dây chiều dài hữu hạn. Bài toán thứ nhất: Tìm nghiệm của phương trình dao động cưỡng bức của một sợi dây chiều dài hữu hạn cho bởi [3]. ∂u ∂u − a2 2 = 0 2 ∂t ∂x 2 2 Với các điều kiện: u ( x, t = 0) = 0 ; u( x = 0, t) = 0 ; (6) ∂u ( x, t = 0 ) =0 ∂t u ( x = l , t ) = A sin ω t Để tìm nghiệm của bài toán chúng tôi kí hiệu: U(x, p) ↽.⇀u(x, t) , lấy ảnh theo t cả hai vế của phương trình (6) ta thu được phương trình toán tử: ∂ 2U pU =a ∂x 2 2 2 (7) Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình px a (7) là: U ( x, p) = C1e + C2e Với các điều kiện biên: U (0, p) = 0 và U (l , p ) = − px a Aω p + ω2 2 Ta thấy U ( x, p) có các cực điểm: p = ±iω kπ a và p = ±i , (k=0,1,2,…) đều là các cực l 70 Chúng ta đặt: px e pt a . f ( x, p ) = pl p 2 + ω 2 sh a Tiếp theo chúng ta tính các thặng dư: (i) sh px px    1 pt sh a   1 pt sh a  res f (x, p)=res 2 2 e + res e p=±iω p=iω p +ω pl  p=−iωp2 +ω2 pl    sh  sh  a a   ωx sin 1 a sin ω t = ω ω sin l a (ii) px pt  px pt     1 sh a e   1 sh a e  res f(xp , )= res  2 2 + res ikπa ikπa p +ω pl  p=−ikπap2 +ω2 pl  p=± p=   sh sh  l l l  a  a    kπ x k π at − 2 a.sin l (ω 2 − Do điều kiện biên (8) nên tìm được nghiệm của phương trình (7) là: px sh px px − Aω A ω U(x, p) = (ea −e a ) = 2 2 a (9) pl p +ω sh pl 2(p2 +ω2)sh a a điểm đơn. Mặt khác chúng ta có: px e pt a u ( x , t ) = Aω ∑ res (10) pl p 2 + ω 2 p = pk sh a sh = ...