Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 4 - Võ Duy Tín

Nội dung trình bày trong chương 4 Biến đổi Laplace nằm trong bài giảng toán kỹ thuật nhằm trình bày về định nghĩa biến đổi Laplace, các tính chất của biến đổi Laplace, các định lý giới hạn, các định lý Heaviside. Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn, tích chập và công thức Duhamel (skip), biến đổi Laplace ngược (reference) .Ứng dụng phép biến đổi Laplace.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 4 - Võ Duy Tín Chương 4 BIẾN ĐỔI LAPLACE Nội dung • Định nghĩa biến đổi Laplace • Các tính chất của biến đổi Laplace • Các định lý giới hạn • Các định lý Heaviside • Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn • Tích chập và công thức Duhamel (skip) • Biến đổi Laplace ngược (reference) • Ứng dụng phép biến đổi Laplace • Dạng toán tử của các định luật Ohm trong Định nghĩa • Cho hàm f(t) thỏa mãn các điều kiện Dirichlet với t ≥ 0. Biến đổi Laplace của f(t) là hàm F(s) như sau: ∞ L [ f (t )] = F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt 0 • Khi đó, biến đổi Laplace ngược của hàm F(s) là hàm f(t). Ký hiệu: f(t) = L –1[F(s)] Ví dụ Biến đổi Laplace của các hàm căn bản Các tính chất • Tính tuyến tính • Vi phân trong miền • Thay đổi tỉ lệ thời gian thời gian • Phép dịch trong miền • Tích Phân Trong Miền thời gian Thời Gian • Phép dịch trong miền • Vi phân trong miền s s • Tích phân trong miền s • Tính tuyến tính L {af1(t) + bf2(t)} = a L {f1(t)} + b L {f2(t)} • Thay đổi tỉ =ệ thời + bF2(s) l aF1(s) gian 1 s L [ f (at )] = F   a a • Phép dịch trong miền thời gian L {f(t-a) u(t-a)} = e-as F(s), a ≥ 0 L -1{e-asF(s)} = f(t-a) u(t-a) L {f(t) u(t-a)} = e-as L {f(t+a)}, a ≥ 0 • Phép dịch trong miền s L {eatf(t)}=F(s-a) L -1{F(s-a)} = eat f(t) • Vi phân trong miền thời gian L {f’(t) } = s L {f(t)} – f(0) = sF(s) – f(0) L {fn(t)} =snF(s) – sn-1f(0) – sn-2f’(0) - … • - sf(n-2)(0) – f(n-1)(0) Tích Phân Trong Miền Thời Gian  t  1 1 L ∫ f ( x)dx  = L { f (t )} = F ( s ) 0  s s t 1  L  F ( s )  = ∫ f ( x)dx -1 s  0 • Vi phân trong miền s L [t. f (t )] = − F ' ( s ) L [t n . f (t )] = (−1) n F n ( s ) • Tích phân trong miền s ∞ ∞  f (t )  L  = ∫ F ( x)dx = ∫ L { f (t )}ds  t  s s • Tích chập L {f(t) * g(t)} = F(s).G(s) • Công thức Duhamel −1  g ' (t ) * h(t ) + g (0 + )h(t ) F ( s ) = s.G ( s ).H ( s ) Laplace → f (t ) =    + h(t ) * g ' (t ) + h(0 ) g (t )  Ví dụ Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn • Nếu f(t) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T, f(t+T)=f(t), trên đoạn từ [0, ∞) và liên t ục từng đoạn trong miền tuần hoàn thì: T L { f (t )} = F ( s ) = ∫ 0 f (t )e − st dt ;s>0 −Ts 1− e Ví dụ Biến đổi Laplace ngược •Phương pháp đối chiếu gốc ảnh f (t )  → F ( s ) Laplace Laplace −1 F ( s )  → f (t )  Từ các bảng đối chiếu các công thức biến đổi Laplace, ta tìm được f(t). Ví dụ Biến đổi Laplace ngược §Các định lý HEAVISIDE Ví dụ Biến đổi Laplace ngược §Các định lý HEAVISIDE Ví dụ