Bài giảng Đổi biến trong tích phân kép

Bài giảng Đổi biến trong tích phân kép bao gồm những nội dung về tọa độ cực; tích phân kép trong tọa độ cực; công thức đổi biến sang tọa độ cực; một số đường cong và miền D trong tọa độ cực; đổi biến tổng quát; tính đối xứng của miền D trong tính tích phân kép.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đổi biến trong tích phân képĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP TỌA ĐỘ CỰC My 2 2 r r = x +y 0 x x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ϕ �[0,2π ] hay ϕ �[−π , π ]TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC a r b D: α ϕ β ϕj ϕ j −1ϕ=β Dij ( ri* ,ϕ *j ) D ∆ϕ ϕ =αTổng tích phânSn = f (ri * cos ϕ *j , ri * sin ϕ *j )ri *∆r ∆ϕ i, j � � D f ( x , y )dxdy = lim Sn d 0lim Sn =d 0 � �D f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕCông thức đổi biến sang tọa độ cực x = r cos ϕ , y = sin ϕ��D �f ( x , y )dxdy = � � D f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ Một số đường cong và miền D trong tọa độ cực x = r cos ϕ , y = r sin ϕ R R-R D R -R R 2 2 2 2 2 2 x +y R x +y =R 0 r R r =R 0 ϕ 2πx 2 + y 2 = 2Rx x2 + y 2 2Rx R 2Rr = 2R cos ϕ 0 r 2R cos ϕ π π − ϕ 2 2 2 2 2 2x + y = 2Ry x +y 2Ry 2R r = 2R sin ϕ R 0 r 2R sin ϕ 0 ϕ π r = r2 (ϕ ) D r1 (ϕ ) r r2 (ϕ ) D: r = r1 (ϕ ) α ϕ β (0 < β − α 2π ) � � D f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ β r2 (ϕ ) � α �= dϕ ϕ r1 ( ) f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdr VÍ DỤ 2 2 x +y 11/ Tính: I = � � 2 2 x + y dxdy với D : D y 0 r=1 x = r cos ϕ , y = r sin ϕ 0 r 1 D: 1 0 ϕ π-1 π 1 π 1 π � � �� 2I= r .rdrdϕ = dϕ r dr = dϕ = 3 3 0 D 0 0 2/ Tính: I= � � D2 ( x − y )dxdy 2 1 x +y 4 D: y x, y −x x = r cos ϕ , y = r sin ϕr=1 r=2 1 r 2 D: π 3πy ϕ =- 4 4 x x = yI= � � D ( x − y )dxdy 1 r 2 D: π 3π ϕ= � � D (r cos ϕ − r sin ϕ ).rdrdϕ 4 4 3π 4 2 � � 2 = dϕ r (cos ϕ − sin ϕ )dr π 1 4 3π 4 �8 1� 7 = (cos ϕ − sin ϕ ) � − �dϕ = − 2 π �3 3 � 3 4 2 23/ Tính: I = �xdxdy với x +y 2y � D: D y −x r = 2sin x = r cos ϕ , y = r sin ϕ 0 r 2sin ϕ D : 3π ϕ π 4 π 2sin ϕ 1 � � � � 2 I= r cos ϕ rdrdϕ = dϕ r cos ϕ rdr = − D π 3 0 64/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi: 2 2 2 2 x + y = 4x, x + y = 2x, y = x, y = 0 r = 4cos x = r cos ϕ , y = r sin ϕ π 0 ϕ D 4 x = y 2cos ϕ r 4cos ϕr = 2cos π 0 ϕS (D ) = � � D 1dxdy D 4 2cos ϕ r 4cos ϕ = � �D rdrdϕ π 4 4cos ϕ = dϕ � � 0 ϕ 2cos rdr 3π 3 = + 4 2 2 2 x +y −x5/ Tính: I = � � ...