Bài giảng Giải tích 1 – Chương 2: Hàm số một biến số

Bài giảng Giải tích 1 – Chương 2: Hàm số một biến số trình bày định nghĩa hàm số; các hàm số thông dụng; giới hạn hàm số; tổng hữu hạn của các vô cùng bé; tích của hai vô cùng bé; tính chất và quy tắc của vô cùng lớn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1 – Chương 2: Hàm số một biến sốChương 2: Hàm số một biến số ĐỊNH NGHĨA HÀM HÀM SỐCho , ⊂ ℝ, ≠ ∅. Một ánh xạ từ vào được gọilà hàm số của một biến số : → ↦ = • Tập X gọi là miền xác định. • Tập Y=f(X) gọi là miền giá trị. • x gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối số. • y=f(x) gọi là biến phụ thuộc hay còn được gọi là hàm số và được gọi là giá trị của hàm f tại x.Đơn ánh. ∀ , ∈ ; ≠ ⇒ ≠ ( ).Toàn ánh.∀ ∈ ,∃ ∈ : = .Song ánh (vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh). ∀ , ∈ ; ≠ ⇒ ≠ ( ) . ∀ ∈ ,∃ ∈ : =Hàm số chẵn, hàm số lẻ∀ ,− ∈ : = − ∀ ,− ∈ : = − (− ) Hàm chẵn Hàm lẻHàm số tuần hoàn ( ) tuần hoàn trên vớichu kỳ nếu: ∀ , + ∈ : = +Hàm số đơn điệu • Ta nói hàm f ( x) là hàm tăng, nếu  x1, x2  X  ,  x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  • Ta nói nói hàm f ( x) là hàm giảm, nếu  x1, x2  X  ,  x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  • Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là tăng (giảm) ngặt.Một hàm tăng hay hàm giảm được gọi chung là hàmđơn điệu.Hàm số bị chặn Ta nói hàm f ( x) bị chặn trên trong bởi ∈ ℝ , nếu x  X , f ( x)  A ⇒ ≤ Ta nói hàm f ( x) bị chặn dưới trong bởi B ∈ ℝ , nếu x  X , f ( x)  B ⇒ ≥ Một hàm vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là hàm bị chặn.Hàm số hợp Cho hai hàm g : X  Y ; f : Y  Z . Khi đó tồn tại hàm hợp f  g : X  Z . h  f  g  f ( g ( x))Hàm số hợp Cho hai hàm g : X  Y ; f : Y  Z . Khi đó tồn tại hàm hợp f  g : X  Z . h  f  g  f ( g ( x)) Ví dụ. g ( x)  x  3; f ( x)  x 2 2  f  g ( x )  f ( g ( x)  f ( x  3)   x  3  g  f ( x )  g ( f ( x))  g ( x 2 )  x 2  3Ví dụ.Cho f ( x)  x ; g ( x)  2  x. Tìm các hàm sau và miền xác định của nó: a ) f  g ; b) g  f ; c) f  f ; d) g  g .Ví dụ.Cho f ( x)  x ; g ( x)  2  x. Tìm các hàm sau và miền xác định của nó: a ) f  g ; b) g  f ; c) f  f ; d) g  g . a) f  g ( x)  2 x  4 2 x  D f  g  ( , 2] b) g  f ( x )  2  x  Dg  f   0, 4 c) f  f ( x)  4 x  D f  f   0,   d ) g  g ( x)  2  2  x  Dg  g   2, 2Hàm số ngượcNếu f : X  Y thì  : Y  X x  y = f(x) y  x = (y) , với y = f(x) là song ánh gọi là hàm ngược của fKý hiệu hàm ngược :  = f 1 Cách tìm hàm ngược: 1. Từ pt y = f(x) , giải tìm x = (y). 2. Hàm số y = (x) là hàm ngược cần tìm.Ví dụ. 1. Tìm hàm ngược của y = f(x) = 2x + 3 trên R B1: giải pt y = f(x) y 3 y  2x  3 x 2 B2: Đổi vai trò của x, y trong biểu thức nghiệm: x3 1 y  f ( x) 22. Tìm hàm ngược của hàm số y = f(x) = x2 trên R+  y  f ( x)  x 2 1  x y  f ( y) x  0 1 Vậy : y  f ( x)  xCác hàm số thông dụngHàm lũy thừa =Hàm mũ cơ số∀ ∈ ℝ, ( )= y  a x ,0  a  1 y  ax, a  1Hàm logarit cơ số y  log a ( x), a  1 y  log a ( x), 0