Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Số phức

Bài giảng "Giải tích 1 - Chương 1: Số phức" cung cấp cho người đọc các kiến thức: Dạng đại số của số phức, dạng lượng giác của số phức, khai căn của số phức, định lý cơ bản của đại số. Cuối chương có các bài tập dành cho người đọc tự ôn tập lại kiến thức. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Số phứcGIẢI TÍCH 1CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC1. Dạng đại số của số phức: a/ Định nghĩa:  Dạng đại số của số phức là: z  a  i b Trong đó: a : được gọi là phần thực của số phức z , ký hiệu là Re z  b : được gọi là phần ảo của số phức z , ký hiệu là Im z  i : được gọi là đơn vị ảo với i 2  1 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC  Tập hợp số phức được ký hiệu là C hay còn gọi là mặt phẳng phức. yBiểu diễn hình học của số phức: b z Trục Ox : được gọi là trục thực Trục Oy : được gọi là trục ảo x O aMỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặtphẳng phức.Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z được gọi làmôđun của số phức z và ký hiệu là z hoặc mod z 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC  z  a  i b được gọi là số phức liên hợp của zb/ Các phép toán:  z1  a1  i b1 Cho hai số phức   z2  a2  i b2 a1  a2  z1  z2   b1  b2  z1  z2  a1  a2   i b1  b2   z1 z2  a1  i b1  a2  i b2  x x  a1 a2  b1 b2   i a1 b2  a2 b1 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:Quy tắc: Ta thực hiện phép nhân tương tự như trongtrường hợp số thực với chú ý: i 2  1Dễ nhận thấy nếu z  a  i b thì z. z  a 2  b 2và nếu z  0 thì 1 1 a ib   z aib a  i b a  i b  a  b   2 2  i  2 2 a b  a b  1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC  z1  a1  i b1  a1  i b1  a2  i b2  z2 a2  i b2 a1  i b1  a2  i b2 (z 2  0)  a1 a2  b1 b2   a2 b1  a1 b2    2 2   i  2 2   a2  b2   a2  b2  1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨCTừ định nghĩa của các phép toán, ta dễ dàng chứngminh các công thức sau:  z  z  a  i b   a  i b   2 a  2 Re  z   z  z  a  i b   a  i b   2 i b  2 i Im z   z1 z2  z1  z2  z1 z2  z1  z2  z1. z2  z1. z2  z1  z1      z2  z2 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC VD1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng đại số 1 3i z 1 iNhân tử và mẫu cho số phức liên hợp 1  i ta được z 1  3 i 1  i   42 i  2i 1  i 1  i  2 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨCVD2: Cho f  z   z 3  2  i  z 2  2  i  z  2i a/ Tính f i  b/ Giải phương trình f  z   0 Giải: a/ Dễ dàng tính được f i   0 b/ z  i là 1 nghiệm của phương trình nên ta phân tích được f  z    z  i  z 2  2 z  2   01. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨCNhận xét :Phương trình z 2  2 z  2  0 có 2 nghiệm là 1  iở đây    1  i 2Kết luận :Phương trình f  z   0 có 3 nghiệm là z  i , z 1 i 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC2. Dạng lượng giác của số phức: y a/ Định nghĩa: z bCho số phức z  a  i b , z  0 rGọi r là khoảng cách từ  gốc toạ độ O tới z x O avà  là góc hợp giữa hướng dương của trục thực với vectơ bán kính của điểm z . (0  φ  2π) Khi đó ta có : z  a  i b  r cos  i sin  2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Biểu thức z  r cos  i sin   được gọi là dạng lượng giác của số phức zTrong đó: r  z  a 2  b 2 chính là mođun của số phức z được gọi là acgumen của số phức z , ký hiệu arg  z  b bTa có : tg     arctg a aChú ý : chọn  sao cho b và sin  cùng dấu 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨCVD : Số phức z  1  i 2 2 Ta có: z  r   1   1  2 1 5 tg  1     hoặc   1 4 4 5 Ta chọn   4  5 5  Vậy z  1  i  2  cos  i sin   4 4 2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨCb/ Các phép toán: Cho hai số phức ...