Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Hàm số nhiều biến (Phần 1)

Bài giảng "Giải tích 1 - Chương 2: Hàm số nhiều biến (Phần 1)" cung cấp cho người đọc các kiến thức: Các khái niệm mở đầu, tập hợp trong Rn, định nghĩa hàm nhiều biến. Cuối chương có các bài tập dành cho người đọc tự ôn tập lại kiến thức. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Hàm số nhiều biến (Phần 1)CHƯƠNG II : HÀM SỐ NHIỀU BIẾNI. Các khái niệm mở đầu1. Tập hợp trong Rn2. Định nghĩa hàm nhiều biến CHƯƠNG II : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN I. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.Tập hợp trong Rn 1.1. Khoảng cách giữa hai điểmXét hai điểm M( x1, x2 , …, xn ), N ( y1, y2 , …, yn ) trongkhông gian Rn . Khoảng cách giữa M và N cho bởi công 1thức:  n 2 2 2 2 d M , N        i 1 xi  yi     x1  y1      xn  yn     d ( A, B )  0  A  B Tính chất : Ba điểm A , B , C  d ( A, B )  d ( B , A) n  tùy ý trong R ta có :  d ( A, B )  d ( A, C )  d (C , B )  CHƯƠNG II : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.Tập hợp trong Rn 1.2. Lân cận của một điểm. Tập hợp B(M0 , r) = M  Rn  : d (M0 , M )  r gọi là hình cầu mở tâm M0 bán kính r . Lân cận của M0 là tất cả các tập hợp chứa một  - lân cận B(M0, ) nào đó của M0. Chú ý : Trong R hình dạng của B(x0, r) là khoảng (x0-r,x0 + r) Trong R2 hình dạng của B(x0, r) là miền tròn x0 không lấy những điểm nằm trên biên Trong R3 hình dạng của B(x0, r) là quả cầu x0 x0 không lấy những điểm nằm trên biên (mặt cầu) CHƯƠNG II : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN1.3. Điểm trong - Tập Mở .Điểm M0 gọi là điểm trong của tập A nếu :   0 : B( M 0 ,  )  A .Tập hợp tất cả các điểm trong gọilà miền trong của tập A và kí hiệu là int A . Tập A gọi làtập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong. 1.4. Điểm biên - Tập đóngĐiểm M0 gọi là điểm biên của tập A nếu với mọi lân cậncủa M0 đều chứa những điểm thuộc A và những điểmkhông thuộc A trừ M0 . Tập hợp tất cả các điểm biên gọilà biên của tập A và kí hiệu là A .Tập A gọi là đóng nếunó chứa mọi điểm biên của nó . CHƯƠNG II : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.5. Điểm Tụ - Điểm cô lậpĐểm M0 gọi là điểm tụ của tập A nếu :   0 : B ( M 0 ,  )  ( A M 0 )  .Ngược lại, ta nói điểm M0 là điểm cô lập của AChú ý : Điểm tụ có thể là điểm trong hoặc điểm biên Tập đóng chứa được mọi điểm tụ của nó 1.6. Tâp bị chặn Tập E được gọi là một tập bị chặn A B(xo,r) nếu nó nằm trong một quả cầu nào đóCHƯƠNG II : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN : I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN1.7. Tâp CompactTập A được gọi là tập Compact nếu nó đóng và bị chặn 1.8. Tập liên thông : Tập A gọi là một tập liên thông nếucó thể nối hai điểm bất kỳ M , N bằng một đường liên tụcnằm trong A ..Tập liên thông A gọi là đơn liên nếu nó đượcbao bởi một đường kín trong R2 ( hoặc một mặt kín trongR3 ). Ngược lại nếu nó được bao bởi nhiều đường , mặtkhác nhau đôi một thì ta nói A là đa liên . M A N Tập LT –Đa LiênTập Liên Thông –Đơn LiênCHƯƠNG II : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN : I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN2. Định nghĩa hàm nhiều biến2.1 Định nghĩaXét không gian Euclide n chiều Rn . Một phần tử M  Rnlà một bộ gồm n thành phần .Hàm số n biến thực trên DÌ Rn là một ánh xạ từ D vào R . Khi đó ta thường viết u = f(x1, x2 , … , x n) hay u = f(M) .Chú ý :1) D gọi là miền xác định của hàm số . 2) Miền giá trị của hàm f là tập hợp các giá trị của u khi M chạy khắp miền D . 3) Trong giáo trình chỉ xét các hàm hai hoặc ba biếnII. HÀM NHIỀU BIẾN2.2. Cách cho một hàm nhiều biếnNgười ta có thể biểu diễn hàm nhiều biến bằng một haynhiều biểu thức . Trong trường hợp này ta có thể hiểu D làtập các điểm M sao cho biểu thức của f có nghĩa . Ví dụTrong các bài toán ứng dụng ta còn có thể dùng bảngđể biểu diễn hàm nhiều biến Ví dụ CÁC VÍ DỤ-MXĐVí dụ 1 2 2Tìm miền xác định của z = f(x,y) = 4- x - y y GIẢI x D = {(x, y): x + y £ 4} 2 2 o  x2 y2Ví duï 2 :  2 2 khi ( x, y)  (0,0) z   x y  (x  y)4  0 khi (x, y)  (0,0)Ví duï 3 : z  x ln y ...