Bài giảng Giải tích 1: Phương trình vi phân cấp 1

Bài giảng "Giải tích 1: Phương trình vi phân cấp 1" cung cấp cho người học các kiến thức: Bài toán dẫn về phương trình vi phân, phương trình tách biến, một số dạng PTVP cấp 1, dạng đưa về tách biến, phương trình đẳng cấp,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1: Phương trình vi phân cấp 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 BÀI TOÁN DẪN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Vận tốc nguội lạnh của một vật trong không khí tỷ lệ với hiệu giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí. Tìm quy luật giảm nhiệt của vật nếu nhiệt độ của không khí là 200C và nhiệt độ ban đầu của vật là 1000C. Quy luaät giaûm nhieät   söï thay ñoåi nhieät ñoä theo  thôøi gian Gọi nhiệt độ của vật là hàm số T theo biến thời gian t dT = k [ T (t ) − 20] ,T (0) = 100 C 0  PTVP dt BÀI TOÁN DẪN VỀ PTVP Tìm pt đường cong đi qua điểm (1, 1) nếu với đoạn [1, x] bất kỳ, diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong này bằng tích 2 lần tọa độ điểm M(x,y) thuộc đường cong (x>0, y>0) x 1 M(x,y) y (t )dt = 2 xy ( x ) 1 Đạo hàm 2 vế 1 x y ( x ) = 2 y ( x ) + 2 xy '( x ) Lưu ý: y (1) = 1 � 2 xy '( x ) + y ( x ) = 0 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1. PTVP là phương trình mà hàm phải tìm nằm dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân.. 2. Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm. 3. Nếu ẩn hàm là hàm 1 biến PTVP thường. Nếu ẩn hàm là hàm nhiều biến PTVP đạo hàm riêng. 4. Hệ PTVP là hệ gồm nhiều PTVP và nhiều ẩn hàm. NGHIỆM CỦA PTVP Xét ptvp thường cấp n: F(x,y,y’,…,y(n)) = 0 (1) 1. Hàm số y = (x,c1,…,cn) thỏa mãn (1) với ci là các hằng số gọi là nghiệm tổng quát của (1). Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta được nghiệm riêng của (1). 2. Hàm (x,c1,…,cn, y) = 0 thỏa mãn (1) gọi là tích phân tổng quát của (1) (y được tìm ở dạng ẩn) Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta đươc tích phân riêng của (1). NGHIỆM CỦA PTVP 3. Đồ thị của hàm nghiệm gọi là đường cong tích phân. 4. Hàm y = y(x) thỏa (1) nhưng không phải là nghiệm riêng được gọi là nghiệm kỳ dị của (1). Bài toán Cauchy cho ptvp cấp 1 Xét ptvp cấp 1: F(x, y, y’) = 0 (1) Hoặc y’ = f(x, y) (2) (2) Gọi là pt đã giải ra được đối với đạo hàm. Bài toán tìm hàm y thỏa (1) hoặc (2) với điều kiện ban đầu y(x0) = y0 Gọi là bài toán Cauchy. MỘT SỐ DẠNG PTVP CẤP 1 • Phương trình tách biến • Phương trình đẳng cấp • Phương trình tuyến tính cấp 1 • Phương trình vi phân toàn phần • Phương trình Bernoulli. PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BiẾN Phương trình có thể tách y và x về 2 vế khác nhau gọi là phương trình tách biến. f(y) dy = g(x) dx Phương pháp giải: tích phân 2 vế Các dạng có thể gặp: 1. f(y) y’ = g(x) 2. y’ = f(y)g(x) 3. f1(y)g1(x) y’ = f2(y)g2(x) 3y2y’ = 2x (1) Ví dụ y(0) = 1 (2) 2 (1) � 3y dy = 2 xdx 2 3y dy = � �� 2 xdx 3 2 � y = x + C (3) ( tích phân tổng quát ) Thay x = 0, y = 1 vào TPTQ C=1 3 2 Vậy nghiệm của (1) và (2) là: y = x +1 Hoặc tích phân riêng là: y3 = x2 + 1 xy’ = y (1) 1. y = 0 là 1 nghiệm của pt 2. y 0: chia 2 vế cho xy (không xét TH x = 0) dy dx (1) � = � ln y = ln x + c y x � ln y = ln x + ln c1 ,      c1 �0 � y = c1x � y = Cx ,         C �0 y = 0 là trường hợp C = 0 trong nghiệm tổng quát y’ = 3x2y, y(0) = 2 Hàm y = 0 không thỏa đk ban đầu nên không xét 2 dy 2 dy y ' = 3x y � 3 x 2 dx = 3 x dx � � = � y y 3 � ln y = x + c x3 + c c x3 � y =e =e e x3 � y = Ce ,           C �0 x3 x = 0, y = 2 C=2 y = 2e Ví dụ y’ – xy2 = 2xy y’ = xy2 + 2xy = xy(y + 2) (1) dy 1 �1 1 � (1) � = xdx � �� − dy = � � xdx y ( y + 2) 2 �y y + 2 � y 2 � ln = x +c y+2 y x2 � = Ce y+2 DẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BiẾN y’ = f(ax + by + c) Đặt u = ax + by +c Vd: y’ = (4x + y – 1)2 u = 4x + y − 1 � u ' = 4 + y ' Pt trở thành 2 du u '− 4 = u � 2 = dx u +4 1 u � arctan = x + c 2 ...