Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 4: Tích phân (p2)

Bài giảng môn "Giải tích 1 - Chương 4: Tích phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân xác định, tích phân suy rộng loại 1, tích phân suy rộng loại 2. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 4: Tích phân (p2) Tích phân xác định Bài toán diện tích hình thang cong: Cho hàm f(x) liên tục và không âm trên [a,b]. Miền D giới hạn bởi đừơng cong y=f(x), 3 đường thẳng x=a, x=b, y=0 được gọi là hình thang cong Yêu cầu đặt ra là tính diện tích hình thang Chia đoạn [a,b] thành n-phần tùy ý bởi các điểma = x0 < x1 < ... < xn = b Tích phân xác địnhTa tính diện tíchhình thang cong thứk gần đúng bằngcách lấy điểm Mk tùy f(Mk)ý trong [xk,xk+1]Coi diện tích hìnhthang cong nhỏxấp xỉ với diệntích hình chữ nhật xk Mk xk+1cạnh xkxk+1, f(Mk) , tức là bằng f ( M k ).( xk +1 − xk )Với n- điểm chia ta có n-hình thang cong nhỏ với diệntích được tính xấp xỉ như trên nên diện tích hìnhthang cong D được tính xấp xỉ với Tích phân xác định n −1 Sn = f ( M k ).∆xk , ∆xk = xk +1 − xk k =0Rõ ràng, công thức xấp xỉ trên càng chính xác nếu sốcác hình thang cong nhỏ càng nhiều.Ta cho max ∆xk 0(khido:n ,∆xk 0)Nếu Sn tiến đến một giới hạn hữu hạn mà không phụthuộc cách chia [a,b] và cách lấy điểm Mk thì giới hạnđó được gọi là diện tích của hình thang cong D n −1 S ( D) = lim f ( M k ).∆xk n k =0 max ∆xk 0Tích phân xác định Tích phân xác địnhĐịnh nghĩa tích phân xác định: Cho hàm f(x) xác địnhtrên [a,b]. Chia [a,b] thành n-phần tùy ý bởi các điểmchia (ta gọi là một phân hoạch của đoạn [a,b]) a = x0 < x1 < ... < xn = b Lấy điểm bất kỳ M k [ xk , xk +1 ] , lập tổng tích phân n −1Sn = f ( M k ).∆xk , ∆xk = xk +1 − xk (Tổng Riemann) k =0Ta cho max ∆xk 0 , nếu Sn tiến đến một giới hạn hữuhạn mà không phụ thuộc cách chia [a,b] và cách lấyđiểm Mk thì giới hạn đó được gọi là tích phân xácđịnh của hàm f(x) trên [a,b] và kí hiệu là b f ( x)dx Khi ấy, ta nói hàm f(x) khả tích trên [a,b] a Tích phân xác định 1Ví dụ: Tính tích phân sau bằng định nghĩa I1 = 2 x dx 0Chia [0,1] thành n phần bằng nhau thì các điểm chiasẽ là 1 k 0 = x0 < x1 = < ... < xk = < ... < xn = 1 n n n −1 n −1 1 kSn = ( xk +1 − xk ) f ( xk ) = 2 n k =0 k =0 n � 1 2 n −1 � 1� n n n � 1 1 1 1 = 1 + 2 + 2 + ... + 2 = = n� � n 1 n 1 ln 2 � � 2 n −1 e n −1 1 I1 = lim Sn = n ln 2 Tích phân xác địnhTheo định nghĩa, tích phân I1 cho ta diện tích phầnmặt phẳnggiới hạnbởi 2 trụcOx, Oy, đtx=1 vàđường 1cong y=2x S ( D) = ln 2 Tích phân xác địnhTa có thể tính bằng cách dùng MatLabKhai báo biến x: syms xNhập hàm: f=2^xNhập cận lấy tp: a=0, b=1. Sau đó thực hiện cácbước sauBước 1: Tính giá trị hàm f tại điểm xk bằng lệnhsubs(f,xk) Bước 2: Tính tổng Sn bằng lệnh S=symsum(f(xk).(xk+1-xk),k,0,n-1): Tính tổng các số hạng dạng f(xk).(xk+1-xk) theo k, với k từ 0 đến n-1Bước 3: Tính giới hạn của Sn bằng lệnh limit(S,n,inf):tính giới hạn của S theo n, n dần đến ∞ (inf) Tích phân xác địnhTính chất của tích phân xác định Định lý 1: Hàm liên tục trên [a,b] thì khả tích trên [a,b] Định lý 2: Hàm có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]Trong các tính chất dưới đây, đều có f(x), g(x) là cáchàm khả tích trên [a,b] b b b1 / dx = b − a c. f ( x)dx = c. �f ( x)dx 2/ � a a a b b b ( f ( x) + g ( x) ) dx = �f ( x)dx + �g ( x)dx3/ � a a a Tích phân xác định b a4 / �f ( x)dx = − �f ( x)dx a b b b5 / �f ( x)dx �g ( x)dx, f ( x) g ( x)∀x [a, b] a a b c b6 / �f ( x)dx = �f ( x)dx + �f ( x )dx f(x) khả tích trên [a,c], a a c [c,b], [a,b] b b7 / �f ( x)dx �f ( x) dx a a 0, f ( x) là hàm lẻ a8/ f ( x)dx = a −a 2 f ( x) dx, f ( x) là hàm chẵn 0 Tích phân xác định a +T ...