Bài giảng Phương pháp bình phương tối thiểu

Bài giảng "Phương pháp bình phương tối thiểu" là tài liệu học tập dành cho các em sinh viên, giúp các em nắm được nội dung về phương pháp bình phương tối thiểu. Đây cũng là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho quý thầy cô giáo trong quá trình biên soạn và chuẩn bị bài giảng. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp bình phương tối thiểu PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU BÀI TOÁN TÌM HÀM THỰC NGHIỆM Cho hàm số dưới dạng bảng số ( xi , yi )i =1,n Biết 2 đại lượng x và y có mối liên hệ phụ thuộc nhau theo một dạng đã biết ví dụ như: 1.y = a + bx 2.y = a + bx + cx 2 3. y = a.c bx 4. y = axb 5. y = a + b cos x + c sin x Tìm các giá trị cụ thể của các tham số a, b, c,… PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU • Giả sử hàm có dạng y = f ( x, a, b, c,...) • Lập tổng các bình phương của các sai số: n S =  ( yi − f ( xi , a, b, c,...) ) → min S 2 a ,b,c ,... i =1 Mục đích của phương pháp là tìm a,b,c,… sao cho S bé nhất • S luôn đạt cực tiểu tại điểm dừng S S S = 0, = 0, = 0,... a b c Trường hợp hàm bậc nhất n S =  ( axi + b − yi ) → min S 2 a ,b i =1  S n  n 2 n n  = 2 ( axi + b − yi )( xi ) = 0 a  xi + b xi =  xi yi  a i =1  i =1 i =1 i =1    n   =2 S n a x + bn = y n  b  i ( ax + b − yi ) (1) = 0   i  i  i =1  i =1 i =1 Trường hợp hàm bậc hai ( ) n S = 2 2 axi + bxi + c − yi → min S a ,b,c i =1  n 4 n n n =0   i  i  i  i yi  S a x + b x 3 + c x 2 = x 2  a  i =1 i =1 i =1 i =1   n  S n n n  = 0  a  xi3 + b xi2 + c  xi =  xi yi  b  i =1 i =1 i =1 i =1  S  n n n = 0 a x 2 + b x + cn = y  c    i =1 i  i  i i =1 i =1 Trường hợp y = a.c bx • Lấy logarit 2 vế log y = log a + bx.log c • Đặt Y = log y, A = log a, B = b.log c, X = x  Y = A + BX  Áp dụng trường hợp bậc 1. Chú ý: B a = e ,b = A log c Trường hợp y = a.x , a  0, x  0 b • Lấy logarit 2 vế log y = log a + b.log x • Đặt Y = log y, A = log a, B = b, X = log x  Y = A + BX  Áp dụng trường hợp bậc 1. Chú ý: a = eA,b = B Trường hợp hàm lượng giác y = a + b cos x + c sin x • Tổng bình phương sai số: n S =  (yi − a − b cos xi − c sin xi ) 2 Tìm a,b,c từ hệ i =1  n n n = 0 na + b cos xi + c  sin xi =  yi  S  a  i =1 i =1 i =1   n  S n n n  = 0  a  cos xi + b cos xi2 + c  sin xi cos xi =  yi cos xi  b  i =1 i =1 i =1 i =1  S  n n n n = 0 a sin x + b sin x cos x + c sin x 2 = y sin x  c   i  i i  i  i i  i =1 i =1 i =1 i =1