Bài giảng Phương trình nghiệm nguyên

Bài giảng với các nội dung: 9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên; 11 dạng phương trình có nghiệm nguyên; các bài tập áp dụng. Để nắm chắc rội dung chi tiết mời các bạn cùng tham khảo bài giảng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương trình nghiệm nguyên1 PT nghiệm nguyên PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN NỘI DUNG Phần 1: Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp 1: Xét số dư của từng vế. Phương pháp 2: Đưa về dạng tổng. Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức . Phương pháp 4: Dùng tính chia hết, tính đồng dư . Phương pháp 5: Dùng tính chất của số chính phương Phương pháp 6: Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn Phương pháp 7: Xét chữ số tận cùng Phương pháp 8: Tìm nghiệm riêng Phương pháp 9: Hạ bậc Phần 2: Các dạng phương trình có nghiệm nguyên Dạng 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn Dạng 2: Phương trình bậc hai có hai ẩn Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn. Dạng 4: Phương trình đa thức có ba ẩn trở lên Dạng 5: Phương trình dạng phân thức Dạng 6: Phương trình dạng mũ Dạng 7: Hệ phương trình vô tỉ Dạng 8: Hệ phương trình với nghiệm nguyên Dạng 9: Hệ phương trình Pytago Dạng 10: Phương trình Pel Dạng 11: Điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên. Phần 3: Bài tập áp dụng Phụ lục2 PT nghiệm nguyên I. CÁC PP GIẢI PT NGHIỆM NGUYÊN 1. PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ Bài 1 Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên: a) x 2  y 2  1998 b) x 2  y 2  1999 Giải a) Dễ chứng minh x 2 , y 2 chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên x 2  y 2 chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. b) x 2 , y 2 chia cho 4 có số dư 0, 1 nên x 2  y 2 chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. Bài 2 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 9x  2  y2  y Giải Biến đổi phương trình: 9 x  2  y ( y  1) Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên y ( y  1) chia cho 3 dư 2. Chỉ có thể: y  3k  1 , y  1  3k  2 với k nguyên Khi đó: 9 x  2  (3k  1)(3k  2)  9 x  9k (k  1)  x  k (k  1) Thử lại, x  k (k  1) , y  3k  1 thỏa mãn phương trình đã cho.  x  k (k  1) Đáp số  với k là số nguyên tùy ý  y  3k  1 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG ⇒ Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương.3 PT nghiệm nguyên Bài 3 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2  y 2  x  y  8 (1) Giải (1)  4 x 2  4 y 2  4 x  4 y  32  (4 x 2  4 x  1)  (4 y 2  4 y  1)  34 | 2 x  1 |2  | 2 y  1 |2  32  52 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có duy nhất một dạng phân tích thành tồng của hai số chính phương 32 ,52 . Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng: | 2 x  1 | 3 | 2 x  1 | 5  hoặc  | 2 y  1 | 5 | 2 y  1 | 3 Giải các hệ trên  phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là: ( x; y)  (2;3), (3; 2), (1; 2), ( 2 : 1) 3. PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ⇒ Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức … a) PP sắp xếp thứ tự các ẩn Bài 4 Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng Giải Cách 1: Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Ta có: x  y  z  x. y. z (1) Chú ý rằng các ẩn x, y, z có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn, chẳng hạn: 1  x  y  z Do đó: xyz  x  y  z  3z Chia hai vế của bất đảng thức xyz  3z cho số dương z ta được: xy  3 Do đó xy  {1;2;3} Với xy = 1, ta có x = 1, y = 1. Thay vào (1) được 2 + z = z (loại) Với xy = 2, ta có x = 1, y = 2. Thay vào (1) được z = 34 PT nghiệm nguyên Với xy = 3, ta có x = 1, y = 3. Thay vào (1) được z = 2 loại vì y  z Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3. 1 1 1 Cách 2: Chia hai vế của (1) cho xyz  0 được   1 yz xz xy Giả ...