Bài giảng Tích phân đường loại 2

Bài giảng Tích phân đường loại 2 trình bày về định nghĩa tích phân đường loại 2; tính chất tích phân đường loại 2; cách tính tích phân đường loại 2; định lý Green; tích phân không phụ thuộc đường đi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Tích phân đường loại 2TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 NỘI DUNG1.Định nghĩa tp đường loại 22.Tính chất tp đường loại 23.Cách tính tp đường loại 24.Định lý Green5.Tích phân không phụ thuộc đường đi. ĐỊNH NGHĨATrong mp Oxy, cho cung AB và 2 hàm số P(x,y),Q(x,y) xác định trên AB.Phân hoạch AB bởi các điểm {A0, A2, .., An}, vớiA0 = A, An = B. Giả sử Ak = (xk, yk), k = 0,…,n.Gọi xk = xk+1 – xk , yk = yk+1 – yk, k = 0,…, n-1.Trên cung AkAk+1, lấy điểm Mk, xét tổng tp B An∆y k Mk Ak +1 Ak A A0 ∆xk n −1 Sn = [ P (Mk )∆xk + Q (Mk )∆y k ] k =0 n −1 Sn = [ P (Mk )∆xk + Q (Mk )∆y k ] k =0 P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = lim Sn n AB là tp đường loại 2 của P, Q trên AB Quy ước: ￑ Pdx + Qdy Cchỉ tích phân trên chu tuyến (đường cong kín) C TÍNH CHẤT TP ĐƯỜNG LOẠI 21.Tp đường loại 2 phụ thuộc vào chiều đường điB A Đổi chiều đường đi thì tp�A � Pdx + Qdy = − Pdx + Qdy B đổi dấu.2.Nếu C = C1 C2�Pdx + Qdy =C � C Pdx + Qdy + � C Pdx + Qdy 1 2 CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI 2Khi tham số hóa đường cong, lưu ý vềchiều đường đi.TH1: (C) viết dạng tham số x = x(t), y = y(t), t1 :điểm đầu, t2: điểm cuối P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy C t2= [ P ( x (t ), y (t )) x (t ) + Q( x (t ), y (t )) y (t ) ] dt t1TH2: (C) viết dạng y = y(x), x = a : điểm đầu, x = b : điểm cuối P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy C b = [ P ( x , y ( x )) + Q( x , y ( x )) y ( x ) ] dx aTH3: (C) viết dạng x = x(y), y = c : điểm đầu, y = d : điểm cuối d [ P ( x ( y ), y ) x ( y ) + Q ( x ( y ), y ) ] dyP ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = ��C c Nhắc lạiKhi tham số hóa cho cung tròn, elippse,ngược chiều kim đồng hồ là tham sốtăng dần, cùng chiều kim đồng hồ làtham số giảm dần. Cách tính Tp đường loại 2 trong không gian I = P ( x , y , z )dx + Q ( x , y , z )dy + R ( x , y , z )dz C Cách tính: (C) x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 :điểm đầu, t2: điểm cuối Pdx + Qdy + Rdz C t2= [ P ( x (t ), y (t ), z(t )) x (t ) + Q( −, −, −) y (t ) + R ( −, −, −) z (t ) ] dt t1 VÍ DỤ 21/ Tính: I = x dx + xydy CC là đoạn nối từ A(0,0) đến B(1,1) theo các đường cong sau đây: a.Đoạn thẳng AB b.Parabol: x = y2 c.Đường tròn: x2+y2 = 2y, lấy ngược chiều KĐH 2 I = x dx + xydy A(0, 0), B(1, 1) C a/ Đoạn thẳng AB: y = x, x : 0 1 1 2 1 I= � x � + x .x .y ( x ) � dx � 0 1 2 22 1 = ( x + x )dx = 3 0 b/ Parabol: x = y2 , y : 0 1 1 1I= �� 2 2 2 � dy = (2 y 5 + y 3 )dy = 7 ( y ) .2 y + y .y � 0 12 0 c/ x2+y2 = 2y x2+(y – 1)2 = 1, lấy ngược chiều KĐH x = cost, y = 1+sint, π A(0,0) t =− 2 B(1,1) t=0 0 2 πI= [cos t (− sin t ) + cos t (1 + sin t )cos t ]dt = 4 −π 22/ Tính: I = 2 ydx + xdy Cvới C là cung ellipse x2 + 3y2 = 3 đi từ (0, 1)đến giao điểm đầu tiên của ellipse vớiđường thẳng y = x, lấy theo chiều KĐH. x = 3cos t , y = sin t1 ( x , y ) = (0,1) � t = π / 2 3 Tại giao điểm với đt y = x: π 3cos t = sin t � t = 3x = 3cos t , y = sin tI = 2 ydx + xdy C π 3 = � 2sin t ( − 3sin t ) + 3cos t .cos t � dt � � π 23/ Tính: I = 2 ydx + zdy + 3ydz Cvới C là gt của mặt cầu x2 + y2 + z2 = 6z vàmp z = 3 - x lấy ngược chiều KĐH nhìn từphía dương trục Oz 3 2x + y = 9 2 2 x= cos t , 2 y = 3sin t , 3 z = 3− cos t 2 t:0 2 I = 2 ydx + zdy + 3ydz C 3 3x= cos t , y = 3sin t , z = 3 − cos t 2 22 y (t ) x (t ) + z(t ) y (t ) + 3y (t )z (t ) 3 ...