Bài giảng Toán cao cấp (A1) - TS. Vũ Gia Tê, ThS. Đỗ Phi Nga

Bài giảng Toán cao cấp (A1). Bài giảng cung cấp cho các bạn những kiến thức về giới hạn của dãy số, hàm số một biến số, phép tính vi phân hàm số một biến số, phép tính tích phân,... Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp (A1) - TS. Vũ Gia Tê, ThS. Đỗ Phi Nga BÀI GIẢNGTOÁN CAO CẤP (A1) Biên soạn: TS. VŨ GIA TÊ Ths. ĐỖ PHI NGAChương 1: Giới hạn của dãy số CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ1.1. SỐ THỰC.1.1.1. Các tính chất cơ bản của tập số thực.A. Sự cần thiết mở rộng tập số hữu tỉ Q. Do nhu cầu đòi hỏi của cuộc sống,tập các số tự nhiên N={0,1,2,...}, cơ sở của phép đếm đãđược mở rộng sang tập các số nguyên Z={0, ± 1, ± 2,...}. Sau đó, do trong Z không có các phầntử mà tích với 2 hoặc 3 bằng 1, nên nguời ta đã xây dựng tập các số hữu tỉ Q, đó là tập gồm các sốđược biểu diễn bởi tỉ số của hai số nguyên, tức là số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.Nếu chỉ dừng lại trên tập Q thì trong toán học gặp phải nhiều điều hạn chế, đặc biệt là gặp khókhăn trong việc giải thích các hiện tượng của cuộc sống. Chẳng hạn việc tính đường chéo của hìnhvuông có kích thước đơn vị. Đường chéo đó là 2 không thể mô tả bởi số hữu tỉ. Thật vậy mnếu 2 = ∈ Q trong đó ƯSCLN(m, n)=1 thì m2=2n2 ⇒ m=2p và 4p2=2n2 ⇒ n=2q. Điều này vô nlí vì lúc này m, n có ước chung là 2. Chứng tỏ 2 ∉ Q. Những số xuất hiện và được dùng thườngxuyên trong giải tích như e, π cũng không phải là số hữu tỉ.B. Số vô tỉ. Một số biểu diễn dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn,hay không thể biểu diễndưới dạng tỉ số của hai số nguyên được gọi là số vô tỉ.C. Số thực. Tất cả các số hữu tỉ và số vô tỉ tạo thành tập hợp số thực. Kí hiệu tập số thực là R. Vậy tập số vô tỉ là R\Q. Người ta có thể xây dựng tập số thực R nhờ vào một hệ suy diễn hay nói cách khác nhờ vàomột hệ tiên đề.Chúng ta không trình bày ở đây mà coi rằng tập hợp số thực R là quá quen thuộcvà kiểm tra lại sự thoả mãn tiên đề đó. Chúng ta coi đó là các tính chất của tập hợp R. Tính chất 1: Tập R là một truờng giao hoán với hai phép cộng và nhân: (R, + , .). 1. ∀a, b ∈ R, a + b ∈ R, a.b ∈ R 2. ∀a, b, c ∈ R, ( a + b) + c = a + (b + c ), ( a.b)c = a (bc ) 3. ∀a, b ∈ R, a + b = b + a, ab = ba 4. R có phần tử trung hoà đối với phép cộng là 0 và đối với phép nhân là 1 ∀a ∈ R , a + 0 = 0 + a = a 3 Chương 1: Giới hạn của dãy số a.1 = 1.a = a 5. Phân phối đối với phép cộng ∀a, b, c ∈ R, a (b + c) = ab + ac (b + c ) a = ba + ca 6. Tồn tại phần tử đối của phép cộng ∀a ∈ R, ∃( − a ), a + ( − a ) = 0 Tồn tại phần tủ nghịch đảo của phép nhân ∀a ∈ R * , R * = R \ {0}, ∃a −1 , a.a −1 = 1 Tính chất 2: Tập R được xếp thứ tự toàn phần và đóng kín đối với các số thực dương. 1. ∀a, b ∈ R, a < b hoặc a = b hoặc a > b 2. ∀a, b, c ∈ R, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c ∀a, b ∈ R, c ∈ R+ , a ≤ b ⇒ ac ≤ bc 3. ∀a, b ∈ R+ , a + b ∈ R+ , ab ∈ R+ Tính chất 3: Tập R là đầy theo nghĩa sau đây: Mọi tập con X không rỗng của R bị chặn trên trong R đều có một cận trên đúng thuộc R vàmọi tập con không rỗng X của R bị chặn dưới trong R đều có một cận dưới đúng thuộc R. Cho X ⊂ R và a ∈ R Gọi a là cận trên của X trong R nếu x ≤ a, ∀x ∈ X . Gọi a là cận dưới của X trong R nếu x ≥ a, ∀x ∈ X . Gọi X bị chặn trên trong R(bị chặn dưới) khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một cận trên (cậndưới) của X trong R. Gọi số nhỏ nhất trong các cận trên của X trong R là cận trên đúng của X trong R, kí hiệusố đó là M* hay SupX (đọc là Suprémum của X). Gọi số lớn nhất trong các cận dưới của X trong R là cận dưới đúng của X trong R, kí hiệusố đó là m* hay InfX (đọc là Infimum của X). Nếu M* ∈ X thì nói rằng M* là phần tử lớn nhất của X, kí hiệu M*=SupX=MaxX. Nếu m* ∈ X thì nói rằng m* là phần tử nhỏ nhất của X, kí hiệu m*=InfX= MinX. Gọi X là bị chặn trong R khi và chỉ khi X bị chặn trên và bị chặn dưới trong R.Chú ý: 1. Tập R\Q không ổn định đối với phép cộng và phép nhân, chẳng hạn4Chương 1: Giới hạn của dãy số 2 + (− 2 ) ∉ R \ Q ± 2 ∈ R \ Q nhưng 2. 2 ∉ R \ Q 2. ∀x ∈ R \ Q, ∀y ∈ Q, x + y ∈ R \ Q xy ∈ R \ Q 1 ∈R\Q x Nếu M là cận trên của tập X thì SupX ≤ M và nếu m là cận dưới của tập X thì InfM ≥ m. 4. Nếu M*=SupX thì ∀ε > 0, ∃α ∈ X ⇒ M * − ε < α Nếu m*=InfX thì ∀ε > 0, ∃α ∈ X ⇒ m * + ε > α Ví dụ 1: Chứng minh ( 2 + 3 + 6 ) ∈ R \ Q Giải: Giả sử q= 2 + 3 + 6 ∈ Q ⇒ ( 2 + 3 ) 2 = ( q − 6 ) 2 hay q 2 + 1 = 2( q + 1) 6 ,dễ dàng chứng minh 6 ∉ Q (tưong tự như chứng minh 2 ∉ Q ). Theo chú ý trên suy ra q+1=0và q2+1=0. Điều này là mâu thuẫn. Vậy q ∉ Q. Ví dụ 2: Tìm các cận dưới đúng và cận trên đúng trong R nếu chúng tồn tại của tập ⎧ 1 (−1) n ⎫ X =⎨ n + n { , n ∈ N * ⎬ = un , n ∈ N * } ⎩2 ⎭ Giải: ∀p ∈ N * có 1 1 3 u2 p = 2p + ⇒ 0 < u2 p ≤ u2 = 2 2p 4 1 1 1 1 1 1 u 2 p +1 = 2 p +1 − ⇒− ≤− ≤ u 2 p +1 ≤ 2 p +1 ≤ 2 2 p +1 3 2 p +1 2 8 ...