Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 - ThS. Lê Trường Giang

Bài giảng "Toán cao cấp: Chương 2 - Hệ phương trình tuyến tính" trình bày những nội dung chính sau đây: Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính; Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính; Định lý Kronecker-Capelli. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 - ThS. Lê Trường Giang1 Chương 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHNỘI DUNG: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 2.1. Định nghĩa 2.2. Phương pháp giải 2.3. Định lý Kronecker-Capelli 2 Chương 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH2.1. ĐỊNH NGHĨA Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường GiangHệ phương trình tuyến tính là một hệ gồm m phươngtrình và n ẩn số có dạng:  a11x1  a12 x 2   a1n x n  b1  a x a x  a x b  21 1 22 2  2n n 2  I  ............................................. a m1x1  a m2 x 2   a mn x n  b m Trong đó:   x j j  1,n được gọi là các hệ số.   a ij  i  1,m; j  1,n được gọi là các hệ số.   bi  , i  1,m được gọi là các hệ số tự do. 3 Chương 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHHệ phương trình tuyến tính còn được viết dưới dạng ma Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giangtrận như sau: AX  BTrong đó:  a11 a12 a1n  a a 22 a 2n  A 21       a m1 a m2 a mn   b1   x1  b  x  B  2 ; X  2     4      bm   xn  Chương 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHCác hệ phương trình đặc biệt: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang1) Nếu bi  0,  i  1,m thì ta gọi (I) là hệ phương trìnhtuyến tính thuần nhất.2) Nếu m  n và det A  0 thì ta gọi (I) là hệ Cramer.2.2. PHƢƠNG PHÁP GIẢI1) Đối với hệ phương trình tổng quátTa giải hệ phương trình theo phương pháp Gauss, tức làsử dụng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận Athành ma trận bậc thang trong đó: 5 Chương 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  a11 a12 a1n b1  Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang   A   A B   a 21 a 22 a 2n b 2       a m1 a m2 a mn b m 2) Đối với hệ CramerKhi hệ phương trình là hệ Cramer, ta có thể giải theophương pháp Gauss hoặc theo hai phương pháp sau đâya) Phương pháp ma trận nghịch đảo: AX  B  X  A 1B 6 Chương 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHb) Phương pháp định thức: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang det  A j  xj  , j  1,n det  A Trong đó A j là ma trận được thành lập bằng cách thaycột hệ số tự do vào cột thứ j của ma trận A.Ví dụ 2.1. Giải hệ phương trình sau theo 3 phươngpháp  2x  y  z  1   y  3z  3 2x  y  z  1 7  Chương 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHVí dụ 2.2. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giangđịnh thức  7x1  2x 2  3x 3  15   5x1  3x 2  2x 3  15 10x  11x  5x  36  1 2 3Ví dụ 2.3. Giải hệ phương trình sau bằng phương phápGauss  x1  2x 2  3x 3  2x 4  6  2x  x  2x  3x  8  1 2 3 4   3x1  2x 2  x 3  2x 4  4 8 2x1  3x 2  2x 3  x 4  8  Chương 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH GABRIEL CRAMER Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang (1704 – 1752)Cramer là nhà toán họcngười Thụy Sĩ. Ông là tácgiả của công thức Cramergiúp chúng ta có thể tìmnghiệm của một hệphương trình một cách dễdàng và hiệu quả. 9 GABRIEL CRAMER (1704 – 1752) Chương 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TU ...