Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - GV. Ngô Quang Minh

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 của GV. Ngô Quang Minh trang bị cho các bạn những kiến thức về phép tính vi phân hàm một biến số. Bài giảng này bao gồm những nội dung về đạo hàm, vi phân, các định lý cơ bản về hàm khả vi – cực trị; công thức Taylor; quy tắc L’Hospital.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - GV. Ngô Quang Minh 10/13/2012 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §1. Đạo hàm Nhận xét. Do x  x  x 0 nên: §2. Vi phân §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị f (x )  f (x 0 ) §4. Công thức Taylor f (x 0 )  lim . §5. Quy tắc……………………………………………………… L’Hospital x x 0 x  x0 §1. ĐẠO HÀM b) Đạo hàm một phía1.1. Các định nghĩa Cho hàm số y  f (x ) xác định trong lân cận phảia) Định nghĩa đạo hàm f (x )  f (x 0 ) (x 0 ; b) của x 0 . Giới hạn lim (nếu có) Cho hàm số y  f (x ) xác định trong lân cận (a; b) của x x 0 x  x0 x 0  (a; b ). Giới hạn: được gọi là đạo hàm bên phải của y  f (x ) tại x 0 . y f (x 0  x )  f (x 0 ) lim  lim Ký hiệu là f (x 0 ). Tương tự, f (x 0 ). x  0 x x 0 x Nhận xét. Hàm số f (x ) có đạo hàm tại x 0 khi và chỉ khi (nếu có) được gọi là đạo hàm của y  f (x ) tại x 0 . Ký hiệu là f (x 0 ) hay y (x 0 ). f (x 0 )  f (x 0 )  f (x 0 ). Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số c) Đạo hàm vô cùng 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm y• Nếu tỉ số   khi x  0 thì ta nói y  f (x ) có 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: x (u  v )  u   v  ; (uv )  u v  uv  ; đạo hàm vô cùng tại x 0 . k    u  u v  uv • Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng    kv  , k  ¡ ;     v   v  . một phía. v2 v2VD 1. Cho f (x )  3 x  f (0)  , 2) Đạo hàm của hàm số hợp f (x )  y[u(x )]: f (x )  x  f (0 )   . f (x )  y (u ).u (x ) hay y (x )  y (u ).u (x ).Chú ý 3) Đạo hàm hàm số ngược của y  y(x ):Nếu f (x ) liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x 0 thì tiếp 1 x (y )  .tuyến tại x 0 của đồ thị y  f (x ) song song với trục Oy .  y (x ) Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp    e ; 7) e x x    a .ln a ; 8) a x x    .x1) x  1 ; 2)  x   2 1x ;  9) ln x   x1 ;  10) loga x   x.ln1 a ;3) sin x   cos x ; 4) cos x    sin x ; 1 1 11) arcsin x  = ; 12)arccos x  = ; 2 1 1 1x 1 x25) tan x   6) cot x    ; cos2 x sin2 x 1 1  1  tan2 x ; 13) arctan x   ; 14) arc cot x   . 2 1x 1  x2 ...