Bài giảng Toán cao cấp - GV. Trần Thị Xuyên

Bài giảng Toán cao cấp do giảng viên Trần Thị Xuyên biên soạn trình bày và giới thiệu học phần toán cao cấp về 6 chương như: hàm số và giới hạn, đạo hàm, hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm nhiều biến, tích phân, phương trình vi phân, phương trình sai phân.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp - GV. Trần Thị Xuyên H C VI N NGÂN HÀNG B MÔN TOÁN ———————o0o——————– BÀI GI NG TOÁN CAO C P Gi ng viên: Tr n Th Xuy n HÀ N I - 2013 GI I THI U H C PH N TOÁN CAO C P S tín ch : 3. Phân b th i gian: Lý thuy t 60 % Bài t p 40 % Chương 1: Hàm s và gi i h n Chương 2: Đ o hàm Chương 3: Hàm s nhi u bi n s và c c tr c a hàm nhi u bi n. Chương 4: Tích phân Chương 5: Phương trình vi phân Chương 6: Phương trình sai phân TIÊU CHU N ĐÁNH GIÁ SINH VIÊN Đi m chuyên c n: 10 % Đi m ki m tra gi a kì: 2 bài chi m 30 % Thi h t h c ph n: 60% Thang đi m 10. Bài ki m tra s 1: Khi k t thúc chương 3 Bài ki m tra s 2: Khi k t thúc chương 6 1 CHƯƠNG 1 HÀM S VÀ GI I H N 1.1 HÀM S 1.1.1 CÁC KHÁI NI M CƠ B N V HÀM S M T BI N S A. Bi n s Đ nh nghĩa 1.1.1. Bi n s là đ i lư ng mà giá tr c a nó có th thay đ i trên m t t p s X = ∅. Ta thư ng kí hi u bi n s là ch cái: x, y, z... và X g i là mi n bi n thiên. Các bi n s kinh t hay g p p: giá c . QS : Lư ng cung. QD : Lư ng c u. π : L i nhu n T C : T ng chi phí V C : Chi phí bi n đ i F C : Chi phí c đ nh AT C : T ng chi phí bình quân AV C : Chi phí bi n đ i bình quân T R: T ng doanh thu K: V n L: Lao đ ng C : Lư ng tiêu dùng S : Lư ng ti t ki m. Y : Thu nh p. B.Hàm s Đ nh nghĩa 1.1.2. M t hàm s f xác đ nh trên X ⊂ R là m t quy t c cho tương ng m i s th c x ∈ X v i m t và ch m t s th c y . Kí hi u: y = f (x) 2 x g i là bi n đ c l p. X g i là mi n xác đ nh. y g i là bi n ph thu c. f (X) = {y ∈ R|y = f (x), x ∈ X} là mi n giá tr c a hàm s . Đ th hàm s là: {(x, y)|y = f (x), x ∈ X} C. Các cách cho hàm s 1. Hàm s cho b i b ng. 2. Hàm s cho b i bi u th c gi i tích.   3  x − 1, x > 3 √ Ví d 1.1.1. y = 5 − x 2 hay y =  5 + x, x ≤ 3  3. Hàm s cho b i đ th hàm s . D. Hàm n Đ nh nghĩa 1.1.3. Hàm y(x) th a mãn h th c liên h gi a x và y : F (x, y) = 0 thì y g i là hàm n c a x. Ví d 1.1.2. x2 + y 2 − 1 = 0 hay x3 − y 3 + 1 = 0 E. Hàm ngư c Đ nh nghĩa 1.1.4. Cho hàm s y = f (x) v i mi n xác đ nh X, mi n giá tr Y. N u ∀y0 ∈ Y , phương trình f (x) = y0 có nghi m duy nh t thu c X thì ta có th xác đ nh m t hàm s cho tương ng m i y0 ∈ Y m t và ch m t x0 ∈ X sao cho f (x0 ) = y0 . Hàm s này g i là hàm ngư c c a hàm s y = f (x), kí hi u là: f −1 . Cách tìm hàm ngư c • Vi t f (x) = y và tìm x theo y • Đ i ch kí hi u x, y cho nhau đ bi u di n f −1 như là hàm c a x. Ví d 1.1.3. Tìm hàm ngư c c a hàm sau y = (x − 1)2 , ∀x ≥ 1 3 Các hàm ngư c c a các hàm s cơ b n 1. Khi xét hàm s y = sin x xác đ nh trên X = − π , π và có MGT [−1, 1] có hàm 2 2 ngư c là y = arcsin x xác đ nh trên [−1, 1] và có MGT là − π , π . 2 2 2. Khi xét hàm s y = cos x xác đ nh trên X = [0; π] và có MGT [−1, 1] có hàm ngư c là y = arccos x xác đ nh trên [−1, 1] và có MGT là [0; π]. 3. Khi xét hàm s y = tan x xác đ nh trên X = − π , π và có MGT R có hàm 2 2 ngư c là y = arctan x xác đ nh trên R và có MGT là − π , π . 2 2 4. Khi xét hàm s y = cot x xác đ nh trên X = (0; π) và có MGT R có hàm ngư c là y = arccot x xác đ nh trên R và có MGT là (0; π). 5. Khi xét hàm s y = ax xác đ nh trên R và có MGT (0; +∞) có hàm ngư c là y = loga x xác đ nh trên (0; +∞) và có MGT là R. F. M t s đ c trưng c a hàm s Hàm s đơn đi u • Hàm s y = f (x) g i là đơn đi u tăng trên mi n X n u x1 < x2 thì f (x1 ) < f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ X . • Hàm s y = f (x) g i là đơn đi u gi m trên mi n X n u x1 > x2 thì f (x1 ) < f (x2 ); ∀x1 , x2 ∈ X . Hàm s b ch n • Hàm s f (x) xác đ nh trong X đư c g i là b ch n trên trong X n u ∃M sao cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ X . • Hàm s f (x) xác đ nh trong X đư c g i là b ch n dư i trong X n u ∃m sao cho f (x) ≥ m, ∀x ∈ X . • Hàm s f (x) b ch n trên và b ch n dư i thì đư c g i là b ch n. f (x) b ch n trong X ⇔ ∃a : |f (x)| ≤ a, ∀x ∈ X Hàm s ch n, hàm s l • Hàm s f (x) xác đ nh trên X đư c g i là hàm s ch n n u ∀x ∈ X , ta có ...