Bài giảng Toán giải tích 1: Chương 2 - Dương Minh Đức

Bài giảng "Toán giải tích 1 - Chương 2: Ánh xạ" cung cấp cho người học các kiến thức: Xác định một ánh xạ, xác định ánh xạ hợp, phân tích ánh xạ thành các ánh xạ đơn giản, chứng minh F là một đơn ánh. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán giải tích 1: Chương 2 - Dương Minh Đức CHÖÔNG HAI AÙ N H X AÏTrong nhieàu moâ hình caùc vaán ñeà thöïc tieån, chuùng tathöôøng thaáy coù caùc ñaïi löôïng thay ñoåi theo moät hoaëcnhieàu ñaïi löôïng khaùc. Chuùng ta haõy xem caùch moâhình cuûa toaùn cho vieäc naøy. Neáu trong kyõ thuaät chuùng ta phaûi coù moät hình troøncoù dieän tích ñònh tröôùc, chuùng ta moâ hình baøi toaùnbaèng coâng thöùc sau : Dieän tích moät hình troøn coù baùn kính r = r2 Nhö vaäy ñaïi löôïng “dieän tích” thay ñoåi tuøy theo ñaïilöôïng “baùn kính” GIAI TICH 1 - CHUONG HAI 62 Chuùng ta ñaàu tö xaây döïng moät coâng trình vôùi soá voánlaø a, öôùc löôïng moãi naêm toán chi phí baûo quaûn laø b,döï kieán seõ cho thueâ haøng naêm laø vôùi giaù c (sau khitröø thueá). Vaäy neân ñònh c bao nhieâu ñeå sau 10 naêmchuùng ta thu hoài voán.Duøng moâ hình baøi toaùn nhö sau : xeùt coâng thöùc sau :“Tieàn thu ñöôïc ñeán cuoái naêm thöù t” = (c – b)t Trong hai thí duï treân, chuùng ta môùi moâ hình toaùnhoïc nöõa vôøi. Chuùng ta thaáy “dieän tích moät hình troøncoù baùn kính r” vaø “Tieàn thu ñöôïc cuoái naêm thöù t” coùchung moät tính cô baûn laø caùc löôïng thay ñoåi theomoät löôïng khaùc , vaø ta seõ kyù hieäu chung laø f (r) hoaëcf(t) . GIAI TICH 1 - CHUONG HAI 63 Theo caùch naøy chuùng ta moâ hình ñöôïc söï thay ñoåicuûa moät löôïng naøo ñoù theo moät löôïng khaùc.A. Xaùc ñònh moät aùnh xaïÑònh nghóa. Cho A vaø B laø hai taäp hôïp khaùc troángvaø D laø moät taäp con khaùc troáng trong A. Giaû söû vôùimoïi x trong D ta ñònh nghóa ñöôïc moät phaàn töû f(x)trong B, ta noùi ta xaùc ñònh ñöôïc moät aùnh xaï f töø Dvaøo B. A B D GIAI TICH 1 - CHUONG HAI 64Thí duï. Dieän tích moät hình troøn coù baùn kính r laø r2. Tathaáy r  f(r) = r2 laø moät aùnh xaï töø taäp hôïp caùc soá thöïcdöông (0,) vaøo chính noù.Thí duï. Nhieät ñoä taïi moät vò trí naøo ñoù trong giaûng ñöôøngnaøy taïi thôøi ñieåm t trong buoåi saùng hoâm nay, laø moät aùnh xaïtöø [6,12] vaøo [20, 50].Thí duï. Coá ñònh moät thôøi ñieåm t trong buoåi saùng hoâmnay, nhieät ñoä taïi moãi vò trí trong giaûng ñöôøng naøy laø moätaùnh xaï töø taäp hôïp A vaøo [20, 50], vôùi A laø taäp hôïp caùc vòtrí trong giaûng ñöôøng naøy. GIAI TICH 1 - CHUONG HAI 65 Thí duï. Ñeå khaûo saùt thieát keá heä thoáng maùy laïnhtrong giaûng ñöôøng naøy, chuùng ta ño nhieät ñoä taïi moätsoá vò trí trong giaõng ñöôøng naøy (goïi B laø taäp hôïp caùcvò trí ñoù) töø 7.00 giôø saùng ñeán 6.00 giôø chieàu trongmoät ngaøy naøo ñoù . Goïi f(x,t) laø nhieät ñoä taïi vò trí x ôûthôøi ñieåm t. Luùc ñoù f laø moät aùnh xaï töø B[7,18] vaøotaäp [20,50].Thí duï. Toång trò giaù xuaát khaåu cuûa Vieät Nam trong töøngthaùng cuûa naêm 2007 laø moät aùnh xaï töø taäp {1,2, . . ., 12} vaøotaäp [1,20] neáu chuùng ta laáy ñôn vò laø tæ USD. Nhöng aùnh xaïnaøy ñöôïc coi laø töø {1,2, . . ., 12} vaøo [16, 340] neáu ñôn vòtính tieàn laø moät ngaøn tæ ñoàng Vieät Nam. GIAI TICH 1 - CHUONG HAI 66Ta coù theå moâ hình caùc aùnh xaï qua ñoà thò cuûa chuùng.Ñònh nghóa. Cho f laø moät aùnh xaï töø moät taäp hôïp Avaøo moät taäp hôïp B. Ta ñaët  = {(x,y)  AB : y = f(x) }. Ta goïi  laø ñoà thò cuûa f . f(x) f(2) f(1) GIAI TICH 1 - CHUONG HAI 67Để vẽ đñồ thị của một aùnh xaï f töø moät khoaûng [a,b]vaøo —, ta coù theå duøng Mathematica vôùi leän Plot[f,{x,xmin,xmax}] Thí duï. Duøng leänh Plot[Cos[x3+Sin [x]],{x,0,}] tacoù ñoà thò cuûa aùnh xaï f(x) = cos(x3+sinx) treân khoaûng[0, ] nhö sau. 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 -0.5 GIAI TICH 1 - CHUONG HAI 68 -1.0 Tuy nhieân chuùng ta cuõngcoù caùc ñoà thò cuûa aùnh xaïdo caùc thieát bò ghi chöùkhoâng phaûi veõ töø ñònhnghóa cuûa aùnh xaï ñoù. Hai ñoà thò beân caïnh doñòa chaán keá ghi laïi caùcgia toác chuyeån ñoäng maëtñaát cuûa moät vò trí theocaùc höôùng baéc-nam vaøñoâng-taây trong moät traänñoäng ñaát ôû Northridge.Theo tö lieäu cuûa Calif. Dept. of Mines and Geology(“Stewart, Calculus- concepts and contexts” tr.15) GIAI TICH 1 - CHUONG HAI 69 Khi ñi xe taxi , chuùng ta phaûi traû moät soá tieàn khôûiñaàu laø a vaø moät khoaûng tieàn theo giaù moãi km chuùngta ñi. Nhö vaäy giaù tieàn trung bình moãi km trong moätchuyeán ñi laø bao nhieâu. Chuùng ta moâ hình baøi toaùn nhö sau : goi x laø soá kmcuûa chuyeán ñi vaø b laø giaù tieàn moãi km, vaø t laø soá tieànñi chuyeán xe ñoù, vaø y laø giaù tieàn trung bình moãi k ...