Bài giảng Toán hàm nhiều biến

Khái niệm hàm hai biến hay n biến, n ≥ 3, khá trừu tượng đối với các tân sinh viên. Nếu chỉ bằng phương pháp thuyết trình, giảng viên trình bày tuần tự khái niệm, định nghĩa, các công thức thì rõ ràng sinh viên sẽ tiếp thu một cách thụ động, kém hiệu quả. Chúng ta có thể tổ chức theo nhóm hoặc bằng sự trợ giúp của công nghệ thông tin ôn tập lại khái niệm hàm một biến.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán hàm nhiều biếnTRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN BÀI GIẢNG Chương I: Hàm số nhiều biếnSố tiết: 10 lý thuyết + 5 bài tập, thảo luận1.1. Khái niệm mở đầu1.2. Đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến số1.3. Cực trị của hàm số nhiều biến số 1.1. Khái niệm mở đầu1.1.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến sốĐịnh nghĩaTa gọi hàm số của n biến số xác định trên D, ký hiệuf: D → R, là quy luật cho ứng mỗi x = (xÀ , x, , ..., xn) ∈D với u = f(xớ, x, , ..., xn) ∈ R. Ví dụ: f: R 2 → R x1 + x2 x = ( x1, x2 ) a f ( x ) = 2 x1 + x2 2 1.1.2. Miền xác định của hàm số nhiều biến số Miền xác định của hàm số u = f(M), ký hiệu Df, là tậpcác điểm M để f(M) có nghĩa. Ví dụ . Trong R2, với f(x, y) = 1 − x 2 − y 2 thì Df = {(x, y): x2 + y2 ≤ 1}. 3 x Trong R , với f(x, y, z) = thì 1 − x 2 − y2 − z2 Df = {(x, y, z): x2 + y2 + z2 < 1}. 1.1.3. Tập hợp trongR n Giả sử M(x1, x2, ..., xn) và N(y1, y2, ..., yn) ∈ Rn n• Khoảng cách : d(M, N) = ∑ (x k − y k )2 . k =1• ε - lân cận của M tập Uε(M) = {N ∈Rn : d(M, N) < ε}.• Lân cận của M, ký hiệu U(M), là mọi tập hợp chứa một Uε(M) nào đó của M• M được gọi là điểm trong của tập E nếu tồn tại U ε(M) nằm trọn trong E. •Tập E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong. • Ta gọi quả cầu mở tâm M0 bán kính r là tập:` E = {N ∈Rn : d(M0, N) < r} • Ta gọi là mặt cầu tâm M0 bán kính r là tập ∂E = {N ∈Rn : d(M0, N) = r} • Ta gọi quả cầu đóng tâm M0 bán kính r là tập E = {N ∈Rn : d(M0, N) ≤ r} • Tập hợp E được gọi là bị chặn nếu tồn tại quả cầu nào đó chứa nó 1.1.4. Giới hạn của hàm số nhiều biến sốĐịnh nghĩa 1: Hàm f(M) có giới hạn là L khi M → M0 khivà chỉ khi ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, M0) > 0 sao cho d(M0, M) < δthì |f(M) – L| < ε .Định nghĩa 2: Hàm f(M) có giới hạn là +∞ khi M → M0 khi và ch ỉkhi ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, M0) > 0 sao cho d(M0, M) < δ thì|f(M)| >ε. Định nghĩa 3: Hàm f(M) có giới hạn là −∞ khi M → M0 khi và ch ỉkhi ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, M0) > 0 sao cho d(M0, M) < δ thì|f(M)| > -ε. • Ví dụ: Tính giới hạn x2 ya) lim 2 x →0 x + y 2 y →0 x2 yb) lim 4 x →0 x + y 2 y →0 1.1.5. Tính liên tục của hàm số nhiều biến sốĐịnh nghĩa. Giả sử f(x) xác định trong lân cận của điểmM0 ∈D. Ta nói f(x) liên tục tại M0 nếu tồn tại giới hạn lim f ( M ) = f(M0).M →M 0Với M0(x0, y0), khi đó:  số gia của đối: ∆x = x – x0, ∆y = y – y0,  số gia riêng theo biến x: ∆xf = f(x0 + ∆x, y0) – f(x0, y0 ),  số gia riêng theo biến y: ∆yf = f(x0, y0 + ∆y) – f(x0, y0 ),  số gia toàn phần: ∆f = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – f(x0, y0 ). • f(M) liên tục trong D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D . Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm  xy x + y x + y ≠0 f(x, y) =   0 x + y =0  1.2. Đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến số1.2.1. Đạo hàm riêng Cho u = f(x, y) xác đ ịnh trong miền D và M0(x0, y0) ∈D. Nếu cố đ ịnh y = y0 mà hàm m ột biến của x là f(x, y0) khả vi tại x = x0 thì đạo hàm đó được gọi là đ ạo hàm riêng của f đối với x tại M0. ∂f ∂uKý hiệ f x (x 0 , y0 ), u: (x 0 , y 0 ) , (x 0 , y 0 ) , tức là ∂x ∂x ∂f f (x 0 + ∆x, y0 ) − f (x 0 , y0 ) (x 0 , y 0 ) = lim . ∂x ∆x → 0 ∆x• Đạo hàm riêng của f đ ối với y tại M0 và được ký hiệu là ∂f ∂u f y (x 0 , y 0 ) hay (x 0 , y0 ) hoặc (x 0 , y 0 ) . ∂y ∂y• Định lý: 0 0 Giả sử hàm số f(x,y) khả vi tại (x ,y ) và có các đạo 0 0 hàm riêng tại (x ,y ). Khi đó công thức đạo hàm toàn phần là: ∂f ∂f f ( x0 , y0 ) ( u , v ) = ( x0 , y0 ) u + ( x0 , y0 ) v ∂x ∂y ...