Bài giảng Toán học: Chủ đề 2 - Quan hệ chia hết trong tập hợp số

Bài giảng chủ đề 2 "Quan hệ chia hết trong tập hợp số" được biên soạn với nội dung trình bày định nghĩa phép chia, một số tính chất của phép chia, dấu hiệu chia hết,... đồng thời cung cấp bài tập vận dụng để các em học sinh dễ dàng ôn luyện và củng cố kiến thức. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán học: Chủ đề 2 - Quan hệ chia hết trong tập hợp số 2 CHỦ ĐỀ QUAN HỆ CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ A. KiÕn thøc cÇn nhí 1. Định nghĩa phép chia. Cho hai số nguyên a và b trong đó b ≠ 0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho = a bq + r , với 0 ≤ r ≤ b − 1. Trong đó a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Khi a chia cho b thì các số dư r ∈ {0;1; 2;...; b − 1} • Nếu r = 0 thì a = bq , khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. Ký hiệu: a  b hay b a. Vậy a chia hết cho b khi và chỉ khi tồn tại số nguyên q sao cho a = bq . • Nếu r ≠ 0 , khi đó ta nói a chia b có số dư là r. 2. Một số tính chất cần nhớ • Tính chất 1. Mọi số nguyên khác 0 luôn chia hết cho chính nó. • Tính chất 2. Nếu a  b và b  c thì a  c. • Tính chất 3. Nếu a  b và b  a thì a = ±b. • Tính chất 4. Nếu a.b m và ( b, m ) = 1 thì a  m . • Tính chất 5. Nếu a  m và b  m thì ( a ± b ) m. • Tính chất 6. Nếu a  m, a  n và ( m, n ) = 1 thì a  mn. • Tính chất 7. Nếu a  b và c  d thì ac  bd . • Tính chất 8. Trong n số nguyên liên tiếp luôn tồn tại một số nguyên chia hết cho n. • Tính chất 9. Nếu a − b ≠ 0 với a, b là các số tự nhiên thì ( a n − b n ) ( a − b ) ( n ∈ N ) . • Tính chất 10. Nếu a + b ≠ 0 với a, b, n là các số tự nhiên và n là số lẻ thì ( a n + b n ) ( a + b ) . 3. Một số dấu hiệu chia hết Đặt A = a n a n −1 ...a 2a1a 0 , với a n ; a n −1 ;...; a 2 ; a1 ; a 0 là các chữ số. Khi đó ta có các dấu hiệu chia hết như sau: TỦ SÁCH CẤP 2| 30 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |• A 2 ⇔ a0  2 ⇔ a0 ∈ {0; 2; 4;6;8}• A 3 ⇔ ( a0 + a1 + .... + an −1 + an ) 3.• A 4 ⇔ a1 a0  4• A 5 ⇔ a0  5 ⇔ a0 ∈ {0;5} .• A8 ⇔ a2 a1 a0 8• A 9 ⇔ ( a0 + a1 + .... + an −1 + an ) 9.• A11 ⇔ ( a0 + a2 + ....) − ( a1 + a3 + ...)  11.• A 25 ⇔ a1 a0  25• A125 ⇔ a2 a1 a0 125B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Sử dụng tính chất trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hếtcho n (n ≥ 1)* Cơ sở phương pháp: Sử dụng các tính chất cơ bản như: tích hai số nguyên liên tiếp chia CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌChết cho 2, tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 và 3 do đó chia hết cho 6. Chúng tavận dụng linh hoạt các tính chất cơ bản này trong nhiều các bài toán về chia hết.Bài toán 1. Chứng minh rằng: a) Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 b) Tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 c) Tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Hướng dẫn giải a) Trong 3 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 (do (2, 3) = 1) b) Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n và (2n + 2) với n ∈ Z Do đó tích hai số nguyên liên tiếp có dạng 4n(n + 1) Do n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên n ( n + 1) 2 Vì thế 4n ( n + 1) 8 c) Ta có 120 = 3.5.8 Do 5 số nguyên liên tiếp có 3 số liên tiếp nên theo ý a) ta có tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.31 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC | CHỦ ĐỀ 2: QUAN HỆ CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ 5 số nguyên liên tiếp có 2 số chẵn liên tiếp nên theo ý b) ta có tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8. Mặt khác 5 số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 5 nên tích chúng cũng chia hết cho 5. Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 120. ...