Bài giảng Toán tài chính - Chương 3: Hàm nhiều biến

Bài giảng "Toán tài chính - Chương 3: Hàm nhiều biến" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm hàm hai biến, tập xác định hàm hai biến, khái niệm hàm ba biến, đồ thị hàm một biến, hàm nhiều biến trong kinh tế,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán tài chính - Chương 3: Hàm nhiều biến HÀM CHƯƠNG 3NHIỀU BIẾNKHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾNĐịnh nghĩa: Cho không gian: R2 = {(x , y ) : x , y Î R } va D Ì R2Ánh xạ: f : D ® R (x , y ) a z = f (x , y )Được gọi là hàm hai biến xác định trên tập hợp DMỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với một số thực zx, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾNMỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với một số thực zx, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộcTập D là miền xác định (domain)Miền giá trị (range) của hàm f   T  f  x, y   x, y   D TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾNKhái niệm. Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả cáccặp (x,y) sao cho giá trị biểu thức f(x,y) là số thực.Ví dụ 1. Với D = ¡ 2 và f ( x, y )  x 3  x 2  xy.Miền xác định của hàm số là cả không gian ¡ 2 .Ứng với cặp số ( x, y)  (2, 1)  D , ta có z  f (2, 1)  23  (1)2  2.(1)  5Ứng với cặp số ( x, y)  (3, 2)  D, ta có z  f (3,2)  33  22  3.2  29.Ví dụ 2. Với mỗi hàm số sau, tìm f(3,2) và miền xác định. x  y 1a) f  x, y   b) f  x, y   x ln  y 2  x  x 1TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾNA) Ta có: 3  2 1 6 f  3, 2    3 1 2Tập xác định: D   x, y  x  y  1  0, x  1b) Ta có: f  3, 2   3ln  22  3  0Tập xác định: D  x , y  x  y 2 VÍ DỤ 1Tìm và vẽ tập xác định của các hàm số sau: a ) f (x , y ) = y - x2 b ) f (x , y ) = ln (2x - y + 1) KHÁI NIỆM HÀM BA BIẾNĐịnh nghĩa: Cho không gian: R3 = { (x , y , z ) : x , y , z Î R } va D Ì R3Ánh xạ: f : D ® R (x , y , z ) a u = f (x , y , z )Được gọi là hàm ba biến xác định trên tập hợp DMỗi cặp (x,y,z)∈ tương ứng với một số thực ux, y, z là các biến độc lập; u là biến phụ thuộcTập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các cặp (x,y,z) saocho giá trị biểu thức f(x,y,z) là số thực. ĐỒ THỊ.Định nghĩa. Nếu f là hàm hai biến với miền xác định D thìđồ thị của f là tập hợp tất cả các điểm (x,y,z) sao cho z  f  x, y   x, y   DĐỒ THỊ HÀM MỘT BIẾN ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾNf  x, y   x 2 y  2 y ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾNf  x, y   x 2  y 2ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN f  x, y   x 3  3 x  2 y 2ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN  x2  y 2 f  x, y    4 x  1 e 2 HÀM NHIỀU BIẾN TRONG KINH TẾa) Hàm sản xuấtb) Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuậnc) Hàm lợi íchd) Hàm cung, hàm cầu VÍ DỤ 2Tìm các giới hạn sau 3x2 y a) lim  x , y  0,1 x 2  y 2 b) lim  x , y 1,2  x y  x y 2 3 2  2 xy  3x 2 y 3x 2 y c) lim d ) lim  x , y 1,2  x 2  y 2  x , y  0,0  x 2  y 2 Sinh viên tự tham khảo thêm GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCĐịnh nghĩa. Hàm số hai biến f liên tục tại (a,b) nếu lim f  x, y   f  a, b   x , y   a ,b Hàm số f liên tục trên D nếu liên tục tại mọi điểm (a,b) trên D.Chú ý.Các hàm đa thức liên tục trên R2 , các hàm hữu tỉ liên tục trênmiền xác định của nó.VÍ DỤ 3.Tìm các khoảng liên tục của hàm số: x2  y2 f  x, y   2 x  y2ĐẠO HÀM RIÊNGCho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D.Xem y như hằng số ta được hàm một biến theo x.Lấy đạo hàm của hàm số này ta được đạo hàm riêng theo biếnx.Tương tự ta được đạo hàm riêng theo biến yKý hiệu: ¶f ¶ ¶z f x¢(x , y ) = f x¢ = = f (x , y ) = = D x f = z x ¶x ¶x ¶x ¶f ¶ ¶z fy¢(x , y ) = fy¢= = f (x , y ) = = D y f = z y ¶y ¶y ¶yĐẠO HÀM RIÊNGĐạo hàm riêng của hàm f(x,y) tại điểm (x0,y0) ¶f f (x , y 0 )- f (x 0 , y 0 ) f x = = lim ¶x x® x0 x- x0 ¶f f (x 0 , y )- f (x 0 , y 0 ) f y = = lim ¶y y ® y0 y- y0Lấy đạo hàm riêng theo biến nào thì xem biến còn lại nhưhằng số và tiến hành lấy đạo hàm như hàm 1 biến.VÍ DỤ 4.Cho hàm số z = x 3 + 3xy 2 - y 4Đạo hàm riêng theo x (xem y là hằng số) z x = 3x 2 + 3y 2Đạo hàm riêng theo y (xem x là hằng số) z y = 6xy - 4y 3 ...