Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 6 - ThS. Nguyễn Phương (2014)

Bài giảng "Xác suất thống kê - Chương 6: Ước lượng tham số" cung cấp cho người học các kiến thức: Ước lượng điểm, ước lượng khoảng (Khoảng tin cậy của trung bình tổng thể, khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể, khoảng tin cậy của phương sai tổng thể). Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 6 - ThS. Nguyễn Phương (2014) Chương 6: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCMBlog: https://nguyenphuongblog@wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 17 tháng 2 năm 2014 1Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên X có thể biết hoặc chưa biết luật phân phốixác suất và chưa biết tham số θ của X. Hãy ước lượng tham số θ bằng phươngpháp mẫu.Đây là một trong những bài toán cơ bản của thống kê.Vì θ là một hằng số nên ta có thể dùng một con số nào đó để ước lượng θ .Ước lượng như vậy được gọi là ước lượng điểm.Ngoài ra, ta có thể chỉ ra một khoảng (θ1 , θ2 ) có thể chứa được θ. Ước lượngnày được gọi là ước lượng khoảng. 21 Ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng Các phương pháp ước lượng điểm2 Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy của trung bình tổng thể Trường hợp 1: n ≥ 30, σ2 biết Trường hợp 2: n ≥ 30, σ2 chưa biết Trường hợp 3: n < 30, σ2 biết, X có phân phối chuẩn Trường hợp 4: n < 30, σ2 chưa biết, X có phân phối chuẩn Các chỉ tiêu của bài toán khoảng tin cậy đối xứng Khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể Các chỉ tiêu của bài toán khoảng tin cậy đối xứng Khoảng tin cậy của phương sai tổng thể Trường hợp 1: biết trung bình tổng thể µ Trường hợp 2: chưa biết trung bình tổng thể µ 3 Ước lượng điểmBài toán: Giả sử cần ước lượng tham số θ của biến ngẫu nhiên X. Từ X, talập mẫu ngẫu nhiên có kích cỡ n:(X1 , X2 , . . . , Xn ).Ta chọn hàm θˆ = f(X1 , X2 , . . . , Xn ) để ước lượng cho tham số θ. Khi đó, θˆđược gọi là hàm ước lượng cho θ.Ta thường chọn, hàm ước lượng: n Chọn θˆ = X = n1 Xi để ước lượng cho trung bình tổng thể µ. P i=1 n Chọn θˆ = S2 = 1 (Xi − X)2 để ước lượng cho phương sai tổng thể σ2 . P n−1 i=1 n Chọn θˆ = Fn = 1 P n Xi để ước lượng cho tỉ lệ tổng thể p. i=1Từ mẫu cụ thể (x1 , x2 , . . . , xn ), ta tính được giá trị θˆ∗ = f(x1 , x2 , . . . , xn ). Khiđó, θˆ∗ được gọi là ước lượng điểm của θ. 4 Ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượngCó vô số cách chọn hàm ước lượng, do đó có vô số ước lượng của tham số θcho trước. Vì vậy, cần đưa ra tiêu chuẩn để đánh giá chất lượng của ước lượng.Từ đó, chọn được hàm ước lượng tốt.a) Ước lượng không chệch:Định nghĩaThống kê θˆ được gọi là ước lượng không chệch của tham số θ nếu E(θ) ˆ = θ. ˆ ˆNgược lại, nếu E(θ) , θ thì θ được gọi là ước lượng chệch của θ.Ý nghĩa- Ước lượng không chệch là ước lượng có sai số trung bình bằng 0 (vì ˆ − θ = 0 ).E(θ)- Giá trị của θˆ không bị chệch về một phía. Ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượngb) Ước lượng hiệu quả:Định nghĩaThống kê θˆ được gọi là ước lượng hiệu quả của tham số θ nếu nó là ước lượngkhông chệch và có phương sai bé nhất trong các ước lượng không chệch của θ.c) Ước lượng vững:Định nghĩaThống kê θˆ được gọi là ước lượng vững của tham số θ nếu Pˆ 1 , X2 , . . . , Xn ) −→θ(X θ.Định lýNếu θˆ là ước lượng không chệch của θ và lim Var(θ) ˆ = 0 thì θˆ là ước lượng n→∞vững cho θ.Ý nghĩaVới n đủ lớn thì với xác suất gần 1, ta có θˆ ≈ θ. Ước lượng điểm Các phương pháp ước lượng điểma) Sử dụng các đặc trưng mẫu: F, X, S2 là ước lượng không chệch, vững cho p, µ, σ2 . S2 là ước lượng chệch, vững cho σ2 . b Nếu X ∼ N(µ, σ2 ) thì X là ước lượng hiệu quả cho µ, nếu X ∼ B(1, p) thì F là ước lượng hiệu quả cho p.b) Phương pháp ước lượng hợp lí tối đaNguyên lí hợp lí tối đa: Tìm giá trị θ là hàm của quan sát (x1 , x2 , . . . , xn ) saocho xác suất thu được tại các quan sát đó lớn nhất.Giả sử X có hàm mật độ xác suất f(x) từ mẫu (x1 , x2 , . . . , xn ) lập hàm hợp lí:L(x1 , x2 , . . . , xn , θ) = ni=1 f(xi , θ). QGiá trị của hàm hợp lí chính là xác suất (hay mật độ xác suất) tại điểm(x1 , x2 , . . . , xn ).Giá trị θ∗ được gọi là ước lượng hợp lí tối đa của tham số θ nếu ứng với giá trịnày hàm hợp lí đạt cực đại. ...