CHƯƠNG I : ĐA THỨC VÀ TÍNH CHẤT

Một hàm số dạng gọi là một đơn thức với là một số bất kì ( trường hợp chung nhất làmột số phức). x là một biến độc lập và k là một số nguyên không âm .Số k gọi là bậccủa đơn thức và kí hiệu là k=deg. Hai đơn thức gọi là đồng bậc nếu bậc của chúngbằng nhau , nghĩa là và là đồng bậc nếu dễ thấy tổng của hai đơn thức đồng bậc. tíchcủa hai đơn thức bất kì là một đơn thức. tổng của hai đơn thức đồng bậc không phảilà một...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHƯƠNG I : ĐA THỨC VÀ TÍNH CHẤTCHƯƠNG I: ĐA THỨC VÀ TÍNH CHẤTA. ĐA THỨC MỘT BIẾN.Một hàm số dạng gọi là một đơn thức với là một số bất kì ( trường hợp chung nhất làmột số phức). x là một biến độc lập và k là một số nguyên không âm .Số k gọi là bậccủa đơn thức và kí hiệu là k=deg. Hai đơn thức gọi là đồng bậc nếu bậc của chúngbằng nhau , nghĩa là và là đồng bậc nếu dễ thấy tổng của hai đơn thức đồng bậc. tíchcủa hai đơn thức bất kì là một đơn thức. tổng của hai đơn thức đồng bậc không phảilà mộtI. Định nghĩa 1.1 Những đơn thức trong cách viết trên không đồng bậc vì nếu đồng bậc thì tatách chúng thành nhóm các đơn thức.Đa thức P(x) bậc n là một đa thức nếu nó có thể biểu diễn như tổng hữu hạn nhữngđơn thức, nghĩa là : P ( x ) = an x n + an−1 x n −1 + ... + a1 x + a0 Với a0 , a1 ,..., an là hằng số (trong trừong hợp tổng quát là số phức )cho trước và an ≠ 0 Khi đó a0 , a1 ,..., an được gọi là những hệ số của đa thức ( a1 là hệ số ứng với x1 ). Người ta dùng deg P(x) để kí hiệu bậc của đa thức P(x). Với đa thức bậc n thì degP(x)=n. + nếu ai là các số nguyên với mọi i= 0,1,..,n thì P(x) gọi là đa thức với hệ số nguyên. + Nếu ai là các số hữu tỉ với mọi i= 0,1,..,n thì P(x) gọi là đa thức với hệ số hữu tỉ + Số x0 được gọi là nghiệm của đa thức P (x) , nếu P( x0 )=0 Nói cách khác bậc của đa thức là bậc lớn nhất của đơn thức trong tổng.trong một số trường hợp bằng không vì ta không đòi hỏi bắt buộc những đơn thức vóbậc nhỏ hơn n tham gia vào đa thức.:nếu hai đa thức có cùng một dạng chuẩn tắc thì bằng nhau. Ta không thể nói dạngchuẩn tắc của đa thức là duy nhất.Chú ý: những số khác không cũng là các đa thức ( tổng của những đa thức bậc 0). Gọilà đa thức bậc 0. ta có deg0= −∞N là số nguyên bất kì.Ta luôn có công thức: deg ( P ( x ) .Q ( x ) ) = deg P ( x ) + deg Q ( x ) deg ( P ( x ) − Q ( x ) ) = max ( deg P ( x ) ) .deg Q( x )) Những đa thức cũng có thể cộng trừ nhân chia cho nhau..P(x),Q(x) là những đathức thì hàm P(x)-Q(x), P(x)+Q(x), P(x).Q(x) cũng là những đa thức. P ( x) Đặc biệt: không là đa thức Q ( x)Ví dụ: x và x 2 +1 là những đa thức, nhưng thương của chúng không là những đa thức.II.Các tính chất cơ bản:2.1. Tính chất 1:Gọi f(x) và g(x) là hai đa thức của vành A , thì bao giờ cũng tồn tại hai đa thức duynhất q(x) và r(x) sao cho f(x)=g(x)q(x)+r(x) với deg r (x)< deg g (x).Nếu r(x)=0 ta nói f(x) chia hết cho g(x).Giả sử a là phần tử tùy ý là đa thức của vành A, là đa thức tùy ý của vành, phần tử f ( x ) = an a + an −1a + ... + a1a + a0 có đựoc bằng n −1 ncách thay x bởi a gọi là giá trị của tai a.Nếu thì f(x)=0 ta gọi là nghiệm của f(x). bài toán tìm cua trong gọi là giải phưong trìnhđại số bậc n an a n + an −1a n −1 + ... + a1a + a0 , a0 ≠ 02.2 Tính chất 2:Giả sự A là một trừong , a ∈ A, f ( x) ∈ A [ x ] . Dư số của phép chia f(x) cho (x-a) chính làf(a)2.3 Tính chất 3:Số a là nghiệm của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho (x-a).Giả sử A là một trường và m là một số tự nhiên lớn hơn và bằng 1. Khi đó a là nghiệmbội cấp m của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho ( x − a ) và f(x) không chia hết cho m( x − a) m +1 . Trong trường hợp m=1 thì ta gọi a là nghiệm đơn còn khi m=2 thì a được gọi lànghiệm kép.Số nghiệm của đa thức là tổng số nghiệm lẫn bội của các nghiệm nếu có.  đa thức có một nghiệm bội cấp m như một đa thức có m nghiệm trùng nhau.+ Lược đồ horner: Giả sử: f ( x ) = an a n + an −1a n −1 + ... + a1a + a0 ∈ A [ x ] Với A là một trường.Khi đó thương gần đúng của f(x) cho (x-a) là mộtđa thức có bậc n-1, có dạng q ( x ) = bn x n −1 + ... + b1 x + b0 , n −1 b = an , bk = abk +1 + ak +1 , k = 0,1,.., n − 1 Và dư số r = ab0 + a0 2.4. Tính chất 4 (Định lý Viete). n −1 a) Giả sử phương trình: an x + an −1 x + ... + a1 x + a0 = 0 ncó n nghiệm ( thực hay phức) thì x1 , x2 ,..., xn thì: −a E1 ( x) := x1 + x2 + ... + xn = n −1 an an − 2 E2 ( x) := x1 x2 + x1 x3 + ... + xn −1 xn = an a0 En ( x) := x1 x2 ..xn = (−1 ...