Chuyên đề dãy số 11

Tài liệu hướng dẫn học toán
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề dãy số 11 www.VNMATH.com CHUYÊN ð DÃY S (BDHSG)1. KHÁI NI M DÃY S u:A → ℝ1) Cho A là m t t p con khác r ng c a t p s nguyên ℤ, hàm s n ֏ u(n) = u nñư c g i là m t dãy s , và kí hi u là ( u n ) ho c {u n } . Thông thư ng ta hay ch n A sao cho ph n t nh nh tc a A là 1. Dãy (un) g i là dãy s h u h n (ho c dãy s vô h n) n u A là t p h p g m h u h n (vô h n) ph n t .S un ñư c g i là s h ng t ng quát c a dãy (un).2) Dãy s (un) ñư c g i là dãy s tăng (tăng không nghi m ng t, gi m, gi m không nghiêm ng t) n u u n < u n +1(tương ng u n ≤ u n +1 , u n > u n +1 , u n ≥ u n +1 ) v i m i n ∈ A.3) Dãy s (un) ñư c g i là tu n hoàn n u t n t i s nguyên dương k sao cho u n + k = u n , ∀n ∈ A. S k nh nh ttho mãn tính ch t này ñư c g i là chu kì c a dãy tu n hoàn (un). N u k = 1 thì ta ñư c m t dãy h ng (t t c cács h ng b ng nhau).4) Dãy s (un) ñư c g i là b ch n trên n u t n t i s th c M sao cho u n ≤ M v i m i n ∈ A. Dãy s (un) ñư cg i là b ch n dư i n u t n t i s th c m sao cho u n ≥ m v i m i n ∈ A. Dãy s (un) ñư c g i là b ch n (ho cgi i n i) n u nó v a b ch n trên v a b ch n dư i, t c là t n t i s th c M, m sao cho m ≤ u n ≤ M v i m in ∈ A, ho c t n t i s th c C sao cho u n ≤ C, ∀n ∈ A. Dãy s h u h n ho c tu n hoàn thì luôn b ch n.2. C P S1) C p s c ng- Dãy s (un) ñư c g i là c p s c ng n u m i s h ng ñ u tho mãn u n +1 − u n = d (d: h ng s , g i là công sai).- Công th c truy h i: u n +1 = u n + d. Công th c s h ng t ng quát: u n = u1 + (n − 1)d, ∀n ∈ A. Công th c tính n(n − 1) n n t ng n s h ng ñ u tiên: Sn = (u1 + u n ) = (2u1 + (n − 1)d) = nu1 + d. Tính ch t các s h ng: 2 2 2 u k +1 + u k −1 = 2u k .2) C p s nhân- Dãy s (un) ñư c g i là c p s nhân n u m i s h ng ñ u tho mãn u n +1 = u n .q (q: h ng s , g i là công b i). Công th c truy h i: u n +1 = u n .q. Công th c s h ng t ng quát: u n = u1.q n −1. Công th c tính t ng n s h ng- 1 − q n +1 2 n u q ≠ 1. Tính ch t các s h ng: u k +1.u k −1 = u k . ñ u tiên: Sn = nu1 n u q = 1, Sn = u1 1− q3) C p s nhân c ng- Dãy s (un) ñư c g i là c p s nhân c ng n u m i s h ng ñ u tho mãn u n +1 = u n .q + d (q, d là h ng s ).4) C p s ñi u hoà 2u n −1u n +1- Dãy s (un) ñư c g i là c p s ñi u hoà n u m i s h ng c a nó ñ u khác 0 và tho mãn u n = , u n −1 + u n +1 111 1 =( + ). (H c sinh t ôn t p các d ng toán v c p s ) hay u n 2 u n −1 u n +13. XÁC ð NH S H NG T NG QUÁT C A DÃY S3.1. D ðOÁN S H NG T NG QUÁT VÀ CH NG MINH B NG QUI N PBÀI T P1) Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s cho b i: ua )u1 = 1, u n +1 = n , ∀n = 1, 2,3,... b)u1 = 2, u n +1 = 2 + u n , ∀n = 1, 2,3,... 1+ un 3 −1 3 − 1 + ( 3 + 1)u n 32 5c)u1 = 1, u n +1 = − u n + u n + 1, ∀n = 1, 2,3,... d)u1 = , u n +1 = , ∀n = 1, 2,3,... 3 +1 3 + 1 − ( 3 − 1)u n 2 2 xa.nguyenvan@gmail.com www.VNMATH.comTÂM SÁNG – CHÍ B N 1 1e)u1 = , u n +1 = 2u n − 1, ∀n = 1, 2,3,... f )u1 = , u n +1 = 2u n 1 − u n , ∀n = 1, 2,3,... 2 2 2 23.2. M T S D NG TRUY H I ð C BI T V i dãy s cho b i công th c truy h i d ng u n +1 = u n + f (n) thì u n = u1 + f (1) + f (2) + ... + f (n − 1). V i dãy s cho b i công th c truy h i d ng u n +1 = u n .g(n) thì u n = u1.g(1).g(2)...g(n − 1).BÀI T P2) Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s cho b i: (n + 1) 2 u na)u1 = 1, u n +1 = ...