Đạo hàm - vi phân

Tham khảo bài thuyết trình đạo hàm - vi phân, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đạo hàm - vi phân C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾNĐịnh nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0 ∈(a,b). Nếu tồn tại f ( x ) − f ( x0 ) lim x − x0 x → x0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0. Ký hiệu f’(x0), y’(x0)Đặt ∆ x = x – x0, ta có x = x0 + ∆ x vàđặt ∆ y = f(x0 + ∆ x) – f(x0) thì ∆y y = lim Ký hiệu dy/dx, df/dx ∆x →0 ∆x 1 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ∆y y = lim- Đạo hàm bên phải: ∆x →0 + ∆x ∆y y = lim- Đạo hàm bên trái: ∆x →0 − ∆x- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó cóđạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó,- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tạimọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a vàđạo hàm trái tại bVí dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx 2 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:• u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’• u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u u  u v − v u• u/v cũng có đạo hàm tại xV(x)≠ 0 và   =  v2 vĐạo hàm của hàm số hợp:Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) cóđạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạohàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). 3 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 vàcó hàm số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạohàm tại y = f(x): 1 1 −1 ( f ) ( y ) = = f ( x ) f [ f −1( y )]Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 4 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: 1 (loga x ) =(c)’ = 0 x ln a(xα)’ = αxα-1 1 (ln x ) = x(ax)’ = axlna 1(ex)’ = ex (arcsin x ) = 1 − x2(sinx)’ = cosx 1 (arccos x ) = − (cosx)’ = -sinx 1 − x2 1( tgx ) = 1 (arctgx ) = cos 2 x 1 + x2 1 1(cot gx ) = − 2 (arc cot gx ) = − sin x 1 + x2 5 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi làđạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d2 y d2f , 2 dx 2 dx Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạohàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). dn y dnf , n dx n dx 6 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNVí dụ: Cho y = xα (α ∈ R, x > 0), y = kex, tìm y(n)Công thức Leibniz:Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đóta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n = ∑ Cku(n−k ).v k trong đó u(0) = u, v(0) = v (n ) (uv ) n k =0 7 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNξ 2. VI PHÂNĐịnh nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy= y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm sốf.Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv  u  vdu − udv d  = v2 v 8 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNĐịnh nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta kýhiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấpn của hàm số f. ...