Đề thi HSG năm 2011 - 2012 môn Toán 11

Các em có thể tham khảo "Đề thi HSG năm 2011 - 2012 môn Toán 11" này để luyện tập những kỹ năng làm bài, rèn luyện kiến thức tiếng Toán để chuẩn bị thật tốt cho các kì thi môn Toán sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi HSG năm 2011 - 2012 môn Toán 11ĐỀ THI HSG NĂM 2011- 2012Môn Thi : Toán 11Thời gian làm bài : 180 phútCâu I( 1 điểm): Giải phương trình(sin 2 x  sin x  4) cos x  202sin x  3Câu II(2 điểm):1/ Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ sốđôi một khác nhau sao cho mỗi số đó chia hết cho 3.2/ Tìm số nguyên dương n sao cho:C12 n 1232 n 1 2.2C 2n 1  3.22 C 2 n1  ...  (2n  1).22 n C 2 n1  2011Câu III(2 điểm) : Cho hàm số: y   x3  3 x 2  2 (C)1/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song vớiđường thẳng y  9 x  2011 .2/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị (C ) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếptuyến với đồ thị ( C ).Câu IV(2 điểm):1/ Chứng minh phương trình :2 x 4  mx3  nx 2  px  2011  0 có ít nhất 2 nghiệm với  m,n,p  R2/ Tính :Limx 1x 2  3  2011x  2009x 1Câu V( 3 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, gócBAD=600 ; SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD); SO 3a. Gọi E là trung4điểm của AD, F là trung điểm của DE.1/ Chứng minh (SOF)  (SAD).2/ Tính khoảng cách từ O và C đến mặt phẳng (SAD).3/ Gọi   là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Xác địnhthiết diện của hình chóp với mặt phẳng   . Tính diện tích của thiết diện này..........................Hết…………….Đáp án đề thi HSG môn toán lớp 11 lần 2 (2010-2011)CâuINội dungXét phương trình:Điều kiện: sin x  ( Sin2 x  sin x  4) cos x  22sin x  3 0 (1)Điểm0,25321211 sin2x(cosx- )+4(cosx- )=0221 (cosx- )(sin2x+4)=02 x=   k 23Phương trình (1)  sin2x.cosx- sin2x+4cosx-2=03Đối chiếu với điều kiện: x=  k 20,50,253Vậy phương trình có nghiệm: x=  k 2II12.Đặt A= {1;2;3;4;5;6}.Các tập hợp con của A gồm có 3 phần tử và tổng của các phầntử đó chia hết cho 3 là:{1;2;3}, {1;2;6}, {2;3;4}, {1;3;5}, {1;5;6},{2;4;6}, {3;4;5},{4;5;6}. Có 8 tậpỨng với mỗi tập hợp trên ta có thể lập được3=3.2.1=6 (số) thỏa mãn yêu cầu bài toánVậy có 8.6=48 số cần tìmTa có (1  x) 2n1  c20n 1  c12 n1.x  c22n1.x 2  c23n1.x3  ....  c22nn11.x 2n1 (1)Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) theo x ta được0,50,50,250,5(2 n  1)(1  x) 2 n ( 1)  c12 n 1  2c22n 1.x  3.c23n 1.x 2  ....  (2n  1).c22nn11.x 2 n (2 n  1)(1  x) 2 n  c12 n 1  2c22n 1 .x  3.c23n 1.x 2  ....  (2n  1).c22nn11.x 2 n (2)Cho x=2 vào hai vế của (2) ta được:12 n 12n  1  c ......  (2 n  1).c2 n 12 n 1.20,252nKhi đó: 2n+1=2011  n=1005.Vậy n=1005.Đường thẳng  song song với đường thẳng y=-9x+2011 có 0,25phương trình dạng y= -9x+m (m  2011)Đường thẳng  là tiếp tuyến của (c )  hệ phương trình0,2532 x  3 x  2  9 x  m2 3 x  6 x  9có nghiệm x  1Giải (2): x  3Nếu x=-1 thì thế vào phương trình (1) ta được m=-7 (thỏa mãn). phương trình tiếp tuyến: y=-9x-7.Nếu x=3 thì m=25( thỏa mãn) phương trình tiếp tuyến: y= -9x+25Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến:y=-9x-7,y= -9x+25.20,50,25Goi M(x0,f(x 0)  (c ); f(x0)=  x03  3 x02  2 .Đường thẳng  với hệ số góc k đi qua điểm M(x0,f(x0) cóphương trình là: y= k(x-x0)+ f(x0)0,25 là tiếp tuyến của (c )  hệ phương trình32 x  3 x  2  k ( x  x0 )  f ( x0 )có nghiệm2 3 x  6 x  1 (x-x0)[-2x2+(x0+3)x+x02-3x0]=0 x  x0 22 g ( x)  2 x  ( x0  3) x  x0  3 x0  00,5= (x0+3)2+8(x02-3x0)=9x02-18x0+9=9(x0-1)2>0Yêu cầu bài toán  g(x)=0 có nghiệm kép x=x0  0   x0  3 x 0=1 M(1;0) 4  x0Vậy M(1;0)IV1Xét phương trình:Xét hàm số:2 x 4  mx3  nx 2  px  2011  0 (1)f ( x)  2 x 4  mx3  nx 2  px  2011lim f ( x)  lim (2 x 4  mx 3  nx 2  px  2011)  x x   b>0 sao cho f(b)