Đề thi môn Đại số năm học 2013-2014 - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh

Đề thi môn Đại số năm học 2013-2014 của trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh gồm 5 bài tập giúp người học ôn tập và củng cố lại kiến thức, làm quen với cách làm bài thi, chuẩn bị thật tốt cho kỳ thi sắp tới. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi môn Đại số năm học 2013-2014 - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí MinhĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCMKHOA KHOA HỌC CƠ BẢNBỘ MÔN TOÁNĐỀ THI MÔN: ĐẠI SỐMã môn học: MATH 141401Ngày thi: 30/12/2014. Thời gian làm bài: 90 phútSinh viên được sử dụng tài liệuChú ý: Đề thi có 14 ý, mỗi ý 1 điểm. Sinh viên chỉ được chọn 10 ý để làm bài.23 1 4  xCâu 1: Cho các ma trận A  3m  110 , B  m  2 , X   y  . m  9 9 m 14 z a/ (1điểm) Tìm m để hệ phương trình tuyến tính A. X  B có vô số nghiệm.b/ (1điểm) Với m  3 , tính det  5.A2014  .Câu 2: Cho B  u1   0, 2, 1 ; u2  1,1 , 0  ; u3  1, 0,  1 là m t cơ s c a3vàE  v1  2 x, v2   x 2  1, v3  x 2  x  1 là m t cơ s c a P2  x  . Cho ánh xạ tuyến tính f :3 P2  x được xác định b i f  a, b, c    a  2b . x 2   b  c  . x   a  b  c  .a/ (1điểm) Tìm m t cơ s và số chiều c a Im f .b/ (1điểm) Tìm ma trận c a ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ s B, E .1c/ (1điểm) Trong P2  x  cho tích vô hướng u, v   u  x  .v  x  dx . Hãy trực giao cơ s E.1 5 3 0  x1  3 5 0  và X   x  .Câu 3: Cho ma trận A  2 0 0 4 x3  a/ (1điểm) Tìm tất cả các giá trị riêng và vectơ riêng c a ma trận A.22b/ (1điểm) Đưa ạng toàn phương f  x1, x2 , x3   5x12  5x2  4 x3  6 x1 x2 về ạng chính t c b ng ph p biếnđ i trực giao.c/ (1điểm) Đưa ạng toàn phương g  x1, x2 , x3   X T A2014 X về ạng chính t c b ng ph p biến đ i trực giao.Câu 4: Cho ánh xạ g :với G xác định b i g  k   3k  3, k  ,là tập số nguyên và tập G  n  3k : k .a/ (1điểm) Chứng minh quy t c n  k : n  k  3 (với mọi n, k  G ) là m t ph p toán hai ngôi trên G .b/ (1điểm) Chứng minh G cùng với ph p toán  là m t nhóm Abel (nhóm Abel là nhóm giao hoán).c/ (1điểm) Chứng minh ánh xạ g là m t song ánh.d/ (1điểm) Chứng minh g là m t đồng cấu từ nhóm,   (nhóm các số nguyênvới phép cộng các sốnguyên) vào nhóm  G,  . Từ đó suy ra g :  ,     G,  là m t đẳng cấu nhóm.Câu 5: Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy đẳng nếu A2  A .0 1a/ (1điểm) Chứng tỏ r ng A   là ma trận lũy đẳng. Ma trận A có khả nghịch không?0 1b/ (1điểm) Chứng minh r ng nếu A, B  M n là các ma trận lũy đẳng và AB  BA thì AB cũng là matrận lũy đẳng.CBCT không giải thích đề thi.NgàythángnămB môn Toán