Giáo trình Giải tích hàm: Phần 2 - Phạm Minh Thông

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Giải tích hàm: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: toán tử trong không gian banach; không gian hilbert và toán tử trong không gian hilbert. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Giải tích hàm: Phần 2 - Phạm Minh ThôngCh−¬ng 3To¸n tö trong kh«ng gian Banach Trong ch−¬ng nµy chóng ta sÏ nghiªn cøu vÒ tÝnh chÊt cña c¸c ¸nh x¹ tuyÕntÝnh ®Æc biÖt trong kh«ng gian Banach, ®−îc gäi chung lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh, ®ångthêi, ®Ó ®¬n gi¶n trong c¸ch viÕt, nÕu A : E → F lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ x ∈ Ath× ®«i khi chóng ta viÕt lµ Ax thay cho A(x) ®Ó chØ ¶nh cña x qua A. §ã lµ to¸ntö liªn hîp, to¸n tö compact, to¸n tö h÷u h¹n chiÒu. §Æc biÖt, chóng ta sÏ giíithiÖu kh¸i niÖm vÒ phæ cña to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ c¸c tÝnh chÊt tæng qu¸t cña phæ,®ång thêi còng nghiªn cøu vÒ ®Æc tr−ng phæ cña mét sè to¸n tö tuyÕn tÝnh ®ÆcbiÖt ®· giíi thiÖu ë trªn. §Ó ®¬n gi¶n trong c¸ch viÕt, nÕu A : E → F lµ to¸n tötuyÕn tÝnh vµ x ∈ A th× ®«i khi chóng ta viÕt lµ Ax thay cho A(x) ®Ó chØ ¶nh cñax qua A.1 To¸n tö liªn hîp§Þnh nghÜa 1.1. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Ta gäi kh«ng gian liªn hîpt«p« E = L(E, K) cña E lµ kh«ng gian liªn hîp thø nhÊt cña E. Kh«ng gianliªn hîp cña E ®−îc ký hiÖu lµ E vµ gäi lµ kh«ng gian liªn hîp thø hai cña E.Nh− vËy E = (E ) = L(E ; K). 84MÖnh ®Ò 1.2. Gi¶ sö E lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Khi ®ã ¸nh x¹ ηE : E → E x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc: ηE (x)(f) = f(x), x ∈ E, f ∈ E lµ ®¬n cÊu gi÷ nguyªn chuÈn tõ E vµo E . Nãi c¸ch kh¸c ηE lµ phÐp nhóng ®¼ngcù kh«ng gian E vµo E .Chøng minh. HiÓn nhiªn víi mäi x ∈ E, phiÕm hµm ηE (x) lµ tuyÕn tÝnh trªn E vµ do |ηE (x)(f)| = |f(x)| xf víi mäi f ∈ E nªn ηE (x) lµ liªn tôc trªn E vµ ηE (x) x víi mäi x ∈ E, nghÜa lµ ηE (x) ∈E . MÆt kh¸c, víi mçi x ∈ E, x = 0, theo hÖ qu¶ cña ®Þnh lý Hahn- Banach, tånt¹i f ∈ E sao cho f = 1 vµ f(x) = xTõ ®ã, theo ®Þnh nghÜa chuÈn ta cã: ηE (x) |ηE (x)(f)| = |f(x)| = x víi mäi x ∈ E.VËy ηE (x) = x víi mäi x ∈ E nªn ηE : E → E lµ ®¬n cÊu gi÷ nguyªnchuÈn tõ E vµo E .VÝ dô 1. Tõ c¸c vÝ dô ë Ch−¬ng 1 môc 4.3 chóng ta ®· biÕt c¸c cÆp kh«ng gian®¼ng cù sau ®©y: 1 1 (Kn ) ∼ = Kn , (1 ) ∼ = ∞ , (p ) ∼ = q víi p, q ∈ R, p, q > 0, + = 1. p q 85§Þnh nghÜa 1.3. Gi¶ sö E vµ F lµ c¸c kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ f ∈ L(E; F ).Khi ®ã to¸n tö tuyÕn tÝnh f : F → E x¸c ®Þnh bëi f (u) := u ◦ f, u ∈ F , ®−îcgäi lµ to¸n tö liªn hîp thø nhÊt cña f. To¸n tö f = (f ) : E → F ®−îc gäi lµto¸n tö liªn hîp thø hai cña f.MÖnh ®Ò 1.4. NÕu f ∈ L(E; F ) th× f ∈ L(E ; F ) vµ f = f. §ång thêi, ηF ◦ f = f ◦ ηE ,ë ®ã ηE : E → E lµ phÐp nhóng ®¼ng cù E vµo kh«ng gian liªn hîp thø hai E cña E.Chøng minh. Do f (u) = u ◦ f, u ∈ F , nªn dÔ thÊy f lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. Tacã: f (u) = u ◦ f fu víi mäi u ∈ F .Suy ra f liªn tôc vµ f f. §Ó chøng minh f = f ta chØ cßn ph¶ichØ ra f f. Tr−íc hÕt ta chØ ra ηF ◦ f = f ◦ ηE mµ cã thÓ viÕt ng¾n gän f = f nÕu ta ®ång nhÊt E víi ηE (E) ⊂ E . ThËt vËy, tõ ®Þnh nghÜa cña EηE , ηF vµ do f = (f ) nªn víi mäi x ∈ E vµ víi mäi u ∈ F ta cã: $ % $ % $ % f (f ◦ ηE )(x) (u) = f (ηE (x)) (u) = ηE (x) ◦ f (u) E −−−→ F ⏐ ⏐ ⏐ ⏐η = ηE (x) f (u) = [f (u)](x) = u(f(x)) ηE ) )F $ % $ % = ηF (f(x)) (u) = (ηF ◦ f)(x) (u) E ←−− − F fSuy ra f ◦ ηE = ηF ◦ f. B©y giê ¸p dông bÊt ®¼ng thøc f f víi f thay bëi f ta cã f f .MÆt kh¸c, tõ ®¼ng thøc f ◦ ηE = ηF ◦ f vµ tõ tÝnh gi÷ nguyªn chuÈn cña ηE vµηF ta cã f = sup f(x) = sup ηF (f(x)) = sup (ηF ◦ f)(x) x∈E,x1 x∈E,x1 x∈E,x1 = ηF ◦ f = f ◦ ηE ηF .f = f f Tõ c¸c chøng minh trªn suy ra f = f . 86MÖnh ®Ò 1.5. NÕu f, g : E → F lµ c¸c to¸n tö tuyÕn ...