Giáo trình Toán học phần 10

Định lý Cho các ẩn m g, h ∈ C1([0, 2π], 3) thoả m n g(0) = g(2π), h(0) = h(2π). Chuỗi h m (8.6.11) với các hệ số ak , bk , ck v dk xác định từ hệ ph−ơng trình (8.6.12) l nghiệm duy nhất v ổn định của b i toán DE1b.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán học phần 10 Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt 2π 2π 1 1 2π ∫ 2π ∫ a0 + b0lnρ = g(θ)dθ h(θ)dθ a0 + b0lnR = 0 0 2π 2π 1 1 π∫ π∫ akρk + bkρ-k = g(θ) cos kθdθ h(θ) cos kθdθ akRk + bkR-k = 0 0 2π 2π 1 1 π∫ π∫ ckρk + dkρ-k = g(θ) sin kθdθ h(θ) sin kθdθ ckRk + dkR-k = (8.6.12) 0 0§Þnh lý Cho c¸c h m g, h ∈ C1([0, 2π], 3) tho¶ m n g(0) = g(2π), h(0) = h(2π). Chuçih m (8.6.11) víi c¸c hÖ sè ak , bk , ck v dk x¸c ®Þnh tõ hÖ ph−¬ng tr×nh (8.6.12) lnghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n DE1b. §7. B i to¸n Dirichlet trong h×nh ch÷ nhËtB i to¸n DE2aCho miÒn D = [0, l] × [0, d] v h m ga ∈ C([0, l], 3)T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ∂ 2u ∂ 2 u ∆u = + = 0 víi (x, y) ∈ D0 (8.7.1) ∂x2 ∂y2v ®iÒu kiÖn biªn u(x, 0) = ga(x), u(x, d) = u(0, y) = u(l, y) = 0 (8.7.2)• T×m nghiÖm cña b i to¸n DE2a d¹ng t¸ch biÕn u(x, y) = X(x)Y(y)Thay v o ph−¬ng tr×nh (8.7.1) ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n X”(x) + λX(x) = 0 Y”(y) - λY(y) = 0 X(0) = X(l) = Y(d) = 0 víi λ ∈ 3 (8.7.3)B i to¸n (8.7.3) cã hä nghiÖm riªng ®éc lËp 2 kπ kπ  kπ  (d − y) , λk =   víi k ∈ ∠* Xk(x) = Aksin x , Yk(y) = Bksh l l lSuy ra cã hä nghiÖm riªng ®éc lËp cña b i to¸n DE2a kπ kπ (d − y) sin x víi ak = AkBk ∈ 3, k ∈ ∠* uk(x, y) = ak sh l l• T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n DE2a d¹ng chuçi h m Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 147Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt kπ kπ +∞ +∞ ∑u ∑a (d − y) sin u(x, y) = k (x, y ) = (8.7.4) sh x k l l k =1 k =1ThÕ v o ®iÒu kiÖn biªn (8.7.2) kπd kπ +∞ u(x, 0) = ∑ a k sh x = ga(x) sin l l k =1NÕu h m ga cã thÓ khai triÓn th nh chuçi Fourier trªn ®o¹n [0, l] th× kπ l 2 ∫ g a (x) sin l xdx ak = (8.7.5) kπd 0 lsh l§Þnh lý Cho h m ga ∈ C1([0, l], 3) tho¶ m n ga(0) = ga(l) = 0. Chuçi h m (8.7.4) víi hÖsè ak tÝnh theo c«ng thøc (8.7.5) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n DE2a.• LËp luËn t−¬ng tù nh− trªn, chóng ta gi¶i c¸c b i to¸n sau ®©y.B i to¸n DE2bCho miÒn D = [0, l] × [0, d] v h m gb ∈ C([0, d], 3).T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ∆u = 0 víi (x, y) ∈ D0v ®iÒu kiÖn biªn u(l, y) = gb(y), u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0§Þnh lý Cho h m gb ∈ C1([0, d], 3) tho¶ m n gb(0) = gb(d) = 0. B i to¸n DE2b cãnghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc kπ d kπ kπ +∞ ...