Hàm số giới hạn của hàm số

KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x) Y theo qui tắc f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y.C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐĐịnh nghĩa hàm số: Với X = R, ta gọi ánh xạ f:X/Y là một hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x). x: biến độc lập y: biến phụ thuộc. Tập X: miền xác định Tập
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hàm số giới hạn của hàm số PHẦN II. VI TÍCH PHÂNChương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN 1 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾNĐịnh nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x)  Y theo qui tắcf, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Ký hiệu: f : X  Y x  f (x) x  y  f(x)• Đơn ánh: x1, x2  X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2)• Toàn ánh: Với mỗi y  Y, x  X: y = f(x)• Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh• Nếu f: XY là song ánh thì f-1: YX là ánh xạ ngượccủa f 2 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐĐịnh nghĩa hàm số: Với X  R, ta gọi ánh xạ f:XY làmột hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x). x: biến độc lập y: biến phụ thuộc. Tập X: miền xác định Tập f(X) = {f(x): x  X}: miền giá trị của fVí dụ: Tìm miền xác định, giá trị: y = 2x2 - 4x + 6 3 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐĐịnh nghĩa phép toán: Cho f, g cùng mxđ X:• f = g: f(x) = g(x),  x  X• (f  g)(x) = f(x)  g(x), xX• (fg)(x) = f(x)g(x), xX f f ( x) ( )( x )  , x  X1 g g( x ) Hàm số f/g có miền xác định X1 = X{x: g(x) = 0} :• (af)(x) = af(x), xX 4 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐHàm số hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u,đồng thời u = g(x) là hàm số của biến x. Khi đó f = f[g(x)] là hàm số hợp của f và g. Ký hiệu fog.Ví dụ: Tìm gof, goh, fog, hog g  log x 2 h  ex f  sin xHàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếuf: XY là một song ánh thì f-1: YX được gọi là hàm sốngược của f.• Đồ thị của f, f-1 đối xứng nhau qua đường y = x. 5 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐHàm số đơn điệu:• f gọi là tăng (giảm) trên (a,b) nếu: x1,x2  (a,b): x1 < x2 => f(x1)  f(x2) (f(x1)  f(x2))• f gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a,b) nếu: x1,x2 (a,b): x1 < x2 => f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2))• Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơnđiệu.Chú ý: Một hàm số có thể không đơn điều trên miền xácđịnh X, nhưng lại đơn điệu trên các tập D  X. 6 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐHàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X.Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: T ≠ 0: f(x+T) = f(x),  x  X Số T0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chukỳ cơ sở của hàm số f.Ví dụ: Hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos(x) tuần hoàn vớichu kỳ cơ sở là T0 = 2. Hàm số f(x) = tg(x), g(x) = cotgxtuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0=. 7 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐHàm số chẵn, lẻ: f có miền xác định X, với x, -x  X.• f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x  X• f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x  XVí dụ: Hàm số f(x) = cosx + x- x2 là Hàm số chẵn g( x )  lg( x  x 2  1) Hàm số lẻGhi chú:• Hàm số chẵn đối xứng qua Oy• Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ 8 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ1. Hàm số luỹ thừa: y = x , với   R•   N: mxđ R•  nguyên âm: mxđ x ≠ 0.•  có dạng 1/p, p  Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ•  là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x tại mọi x  0 nếu > 0 và tại mọi x > 0 nếu  < 0. Đồ thị của y = x luôn qua điểm (1,1) và đi quagóc toạ độ (0,0) nếu  > 0, không đi qua góc toạ độ nếu < 0. 9 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ2. Hàm số mũ: y = ax (a > 0, a ≠ 1)• Hàm số mũ xác định với mọi x dương.• Hàm số mũ tăng khi a > 1.• Hàm số mũ giảm khi a < 1.• Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ. 10 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ3. Hàm số logarit: y = logax, a > 0, a ≠ 1• Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0.• Hàm số logax tăng khi a > 1• Hàm số logax giảm khi a < 1• Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị• Hàm số y = logax là hàm số ngược của số y = ax 11 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Một số tính chất của logax: Loga(x1x2) = Loga(x1) + Loga(x2) x1 Loga ( )  Loga ( x1)  Loga ( x 2 ) x2 Logaxα = αLogax loga b ba Logcb Logab  Logc a 12 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ4. Hàm số lượng giác:• y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2• y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2• y = tgx, mxđ  x ≠ (2k+1)/2, hàm lẻ, chu ...