Không gian Tô Pô

Không gian tôpô, hay không gian topo, là những cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa các khái niệm như là sự hội tụ, tính liên thông và tính liên tục. Chúng xuất hiện hầu như trong tất cả mọi ngành của toán học hiện đại và là một khái niệm thống nhất có tính trọng tâm. Ngành toán nghiên cứu về các không gian tôpô gọi là topology.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Không gian Tô Pô Lêi nãi ®Çu T«p« lµ m«n häc c¬ së cña Gi¶i tÝch hiÖn ®¹i, tµi liÖu viÕt vÒ nã rÊt nhiÒu song rÊt Ýt tµi liÖu cã c¸c bµi tËp kÌm theo lêi gi¶i chi tiÕt minh ho¹ cho m«n häc hÊp dÉn nh−ng t−¬ng ®èi trõu t−îng nµy. Nh»m gióp cho mét sè b¹n häc viªn Cao häc To¸n c¸c kho¸ sau (KÓ tõ khãa 10) häc tËp ®ì vÊt v¶ vµ c¶m thÊy thó vÞ h¬n m«n T«p«. Dùa vµo ch−¬ng tr×nh häc T«p« ®¹i c−¬ng cña Cao häc 10 To¸n, t¸c gi¶ thèng kª vµ gi¶i c¸c bµi tËp T«p« ®· gÆp trong ch−¬ng tr×nh häc. §a sè c¸c lêi gi¶i tr×nh bµy chi tiÕt, cã nh÷ng bµi tËp hay t¸c gi¶ tr×nh bµy nhiÒu c¸ch gi¶i ®Ó b¹n ®äc tham kh¶o. V× n¨ng lùc cßn h¹n chÕ vµ ®©y chØ lµ c¸c lêi gi¶i mang tÝnh chñ quan cña t¸c gi¶, ®iÒu kiÖn vËt chÊt kh«ng cho phÐp, nªn chØ cã thÓ tr×nh bµy ®−îc c¸c bµi to¸n s¸t víi Bµi gi¶ng cña PGS TS TrÇn V¨n ¢n cho Häc viªn cao häc To¸n kho¸ 9-10 §H Vinh. Ch¾c ch¾n sÏ kh«ng tr¸nh khái thiÕu sãt, song còng mong nhËn ®−îc sù ñng hé, ý kiÕn ®ãng gãp cña b¹n ®äc quan t©m ®Õn T«p«. Cuèn s¸ch gåm bèn phÇn chÝnh: I. Kh«ng gian T«p« II. Kh«ng gian Mªtric III. Kh«ng gian Compact IV. Kh«ng gian Liªn th«ng Nh©n ®©y còng xin ®−îc c¶m ¬n anh NguyÔn Hång C−êng HV CH10 To¸n ®· ®Ò nghÞ t¸c gi¶ hoµn thµnh tµi liÖu nµy. Vinh, ngµy 30 th¸ng 04 n¨m 2003 Ng« Quèc Chung12 Tr−êng PTDL Hermann Gmeiner Vinh, NghÖ An 1 Email: nqchungv@yahoo.com 2 Mobile: 0906236777 1 2 Kh«ng gian t«p« Cho kh«ng gian t«p« X, E lµ tËp con cña X ta lu«n cã: Bµi 1 : a ) E ®ãng ⇔ E ⊂ E b ) E =E ∪E c ) intE lµ tËp më lín nhÊt chøa trong E d ) E lµ tËp ®ãng nhá nhÊt chøa E e ) E lµ tËp më ⇔ E lµ l©n cËn cña ∀x ∈ E Chøng minh a) Gi¶ sö E ®ãng mµ E ⊂ E ⇒ ∃ ®iÓm x ∈ E mµ x ∈ E ⇒ x ∈ X E l¹i do E ®ãng ⇒ X E më ⇒ ∃ l©n cËn U cña x sao cho x ∈ U ⊂ X E ⇒ U ∩ E = ∅ ⇒ U ∩ E {x} = ∅ tr¸i víi gi¶ thiÕt x ∈ E ⇒ E ⊂ E Gi¶ sö E ⊂ E ⇒ ∀x ∈ X E th× x ∈ E ⇒ ∃ l©n cËn U cña x sao cho U ∩ E {x} = ∅ ⇒ U ∩ E = ∅ (v× x ∈ E ) ⇒ U ⊂ X E ⇒ X E më ⇒ E ®ãng b) Gi¶ sö x ∈ E ∪ E ⇒ x ∈ E hoÆc x ∈ E . NÕu x ∈ E râ rµng x ∈ E . NÕu x ∈ E ⇒ ∀ l©n cËn U cña x th× ta cã U ∩ E {x} = ∅ vµ E {x} ⊂ E {x} ⇒ U ∩ E {x} = ∅ ⇒x∈E ⊂E ⇒E∪E ⊂E Gi¶ sö x ∈ X E ∪ E ⇒ x ∈ E ⇒ tån t¹i l©n cËn U cña x sao cho / / U ∩ E {x} = ∅ mµ x ∈ E ⇒ U ∩ E = ∅ ⇒ X {E ∪ E } lµ tËp më mµ / E ⊂E∪E ⇒E ⊂E∪E c) Ta sÏ chøng minh r»ng mäi tËp më n»m trong E ®Òu n»m trong intE . ThËt vËy: Gi¶ sö U lµ tËp më bÊt k× sao cho U ⊂ E ⇒ ∀x ∈ U th× x ∈ U ⊂ E ⇒ E lµ l©n cËn cña x ⇒ x lµ ®iÓm trong cña E ⇒ x ∈ intE ⇒ U ⊂ intE 3 nqchungv@yahoo.com 4 B©y giê ta chøng minh intE lµ tËp më ®Ó hoµn thµnh chøng minh. Víi mäi x ∈ intE ⇒ E lµ l©n cËn cña x ⇒ ∃ U më ®Ó x ∈ U ⊂ E ⇒ U ⊂ intE ⇒ intE lµ tËp më d) Theo ®Þnh nghÜa e) Râ rµngE më ⇒ E lµ l©n cËn cña ∀x ∈ E Gi¶ sö E lµ l©n cËn cña mäi ®iÓm thuéc nã⇒ ∀x ∈ E, ∃ Ux lµ tËp më sao cho x ∈ Ux ⊂ E ⇒ E = {x} ⊂ Ux ⊂ E ⇒ E = Ux E x∈E x∈E x∈E ⇒E lµ tËp më Bµi 2 : Mçi kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø hai lµ kh¶ ly. Chøng minh C¸ch 1: V× X lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø 2, nªn trong X cã c¬ së Ω = {Un }n∈N ®Õm ®−îc Víi mçi n ∈ N ta lÊy t−¬ng øng mét xn ∈ Un , vµ ®Æt tËp F = {xn }n∈N ¯ Râ rµng F lµ tËp ®Õm ®−îc, b©y giê ta sÏ chøng minh F = X . ThËt vËy: Ta cã (X F ) ∩ F = ∅ (1) Gi¶ sö (X F ) = ∅ ⇒ ∃x ∈ X F , v× X F më ⇒ ∃Un0 ∈ Ω sao cho x ∈ Un0 ⊂ X F Lóc ®ã tån t¹i xn0 ∈ F sao cho xn0 ∈ Un0 ⊂ X F ⇒ n0 ∈ X F ∩ F §iÒu nµy tr¸i víi (1) vËy X F = ∅ ⇒ X = F C¸ch 2: Gäi Ω = {Un }n∈N lµ c¬ së ®Õm ®−îc cña X. Ta ®Æt tËp F = {xn }n∈N trong ®ã mçi xn ®−îc lÊy ra t−¬ng øng trong mét tËp Un . Gi¶ sö V lµ mét tËp më bÊt kú trong X ⇒ V = ∪{Uα : Uα ∈ Ω} ⇒ ∃Uα0 ⊂ V ⇒ ∃xα0 ∈ F sao cho xα0 ∈ Uα0 ⊂ V ¯ ⇒F ∩V =∅⇒F =X nqchungv@yahoo.com 5 Bµi 3 : (a) Giao cña mét hä t«p« tuú ý trªn X lµ mét t«p« trªn X (b) Hîp cña hai t«p« trªn X cã thÓ kh«ng lµ t«p« trªn X (c) §èi víi mét hä tuú ý c¸c t«p« trªn X , tån t¹i mét t«p« duy nhÊt, mÞn nhÊt trong c¸c t«p« th« h¬n mäi t«p« cña hä ®ã, vµ tån t¹i t«p« duy nhÊt, th« nhÊt trong c¸c t«p« cña hä. Chøng minh (a) §iÒu nµy dÔ dµng chøng minh nhê vµo ®Þnh nghÜa, xin dµnh cho b ...