Luận văn: Một số định lý biến phân trong không gian có thứ tự

Luận văn: Một số định lý biến phân trong không gian có thứ tự trình bày về định lý Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz trong không gian có thứ tự; bất đẳng thức Ky Fan, định lý điểm bất động Fan Browder; lát cắt liên tục của ánh xạ đa trị và phần tử tối đại trong không gian có thứ tự.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn: Một số định lý biến phân trong không gian có thứ tựMột số định lý biến phân trong không gian có thứ tự Trần Văn Toàn Chuyên ngành toán giải tích Trường ĐHSP Tp. HCM, 2006 1Lời nói đầuLý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được phát triểnmạnh mẽ từ giữa thế kỷ XX và được hoàn thiện, bổ sung cho đến hômnay. Việc áp dụng quan hệ thứ tự vào nghiên cứu các phương trình toántử tổng quát một mặt cho phép nghiên cứu sâu hơn các tính chất địnhtính của nghiệm như tính dương, tính lồi, tính đơn điệu,. . . , Mặt khác,nó cho phép giảm nhẹ điều kiện liên tục của các ánh xạ hoặc kiện lồicủa các tập được xét. Do đó, lý thuyết của phương trình trong khônggian có thứ tự được ứng dụng rộng rãi để nghiên cứu các phương trìnhxuất phát từ Vật lý, Hoá học, Sinh học, . . . Thế nhưng, việc ứng dụnglý thuyết này vào các bài toán biến phân lại rất hạn chế và mới chỉ mớibắt đầu trong những năm gần đây. Do đó, việc nghiên cứu ứng dụngquan hệ thứ tự vào bài toán biến phân là cần thiết và hứa hẹn nhiềukết quả mới thú vị. Mục đích của luận văn này là giới thiệu các dạng trong không giancó thứ tự của một số định lý cơ bản được dùng trong phương pháp biếnphân. Đó là các định lý Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz, bất đẳngthức Ky Fan, định lý điểm cân bằng Nash. Đây là các kết quả được côngbố trên các bài báo chuyên khảo gần đây. Qua các kết quả này, ta cũngthấy rằng, việc sử dụng quan hệ thứ tự đã cho phép làm giảm nhẹ điềukiện liên tục của ánh xạ và điều kiện lồi của các tập hợp. Luận văn được chia thành bốn chương: Chương 1. Định lý Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicztrong không gian có thứ tự. Định lý KKM là một định lý rất cơbản. Đã có nhiều kết quả quan trọng được chứng minh dựa trên địnhlý này, chẳng hạn bổ đề Sperner, định lý điểm bất động Brouwer, bấtđẳng thức Ky Fan,. . . Kể từ khi Knaster, Kuratowski, Mazurkiewicz 2chứng minh định lý, đã có nhiều sự tổng quát cho định lý KKM. Trongchương này, từ Định lý 2 trong [3], chúng ta chứng minh được định lýKKM trong không gian có thứ tự dựa trên khái niệm ánh xạ transferclosed valued. Chương 2. Bất đẳng thức Ky Fan, định lý điểm bất độngFan - Browder, điểm cân bằng Nash trong không gian có thứtự. Từ Định lý KKM ở Chương 1, chúng ta chứng minh được bất đẳngthức Ky Fan, định lý điểm bất động Fan - Browder và định lý về sự tồntại điểm cân bằng Nash trong không gian có thứ tự. Chương 3. Lát cắt liên tục của ánh xạ đa trị và phần tử tốiđại trong không gian có thứ tự. Ở phần đầu của chương này, chúngtôi giới thiệu định lý về sự tồn tại lát cắt liên tục của ánh xạ đa trị.Tiếp theo là các định lý về sự tồn tại phần tử lớn nhất trong một quanhệ ưu tiên yếu và sự tồn tại phần tử tối đại trong một quan hệ ưu tiênngặt. Chương 4. Ánh xạ đơn điệu tăng và bài toán cực trị. Trongchương này, chúng ta sẽ xem xét sự tồn tại của các điểm bất động bộibằng cách sử dụng các tập bất biến theo quỹ đạo giảm. Xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Bích Huyvề sự hướng dẫn tận tâm của thầy. Cám ơn anh Nguyễn Thanh Vinh (Phòng Sau đại học, trường ĐHSPthành phố Hồ Chí Minh) đã giúp đỡ để tôi có được phần mềm soạn thảocho luận văn. Cám ơn anh Phan Đào Việt Long (http://www.viettug.org) đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong việc định dạng luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2006, Trần Văn Toàn. 3Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Chương 1. Định lý Knaster - Kuratowski-Mazurkiewicz trong không gian có thứ tự 5 1.1 Nửa dàn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Transfer closed valued. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Chương 2. Bất đẳng thức Ky Fan, định lý điểm bất động Fan - Browder, điểm cân bằng Nash trong không gian có thứ tự 17 2.1 Bất đẳng thức Ky Fan trong không gian có thứ tự. . . . 17 2.2 Định lý điểm bất động Fan - Browder trong không gian có thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Điểm cân bằng Nash trong không gian có thứ tự. . . . . 20Chương 3. Lát cắt liên tục của ánh xạ đa trị và phần tử tối đại trong không gian Banach có thứ tự 23 3.1 Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Lát cắt liên tục và phần tử tối đại. . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Chương 4. Ánh xạ tựa đơn điệu tăng và bài toán cực trị 32 4 4.1 Các khái niệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 Tập bất biến theo quỹ đạo giảm (Decreasing flow invari- ant set). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Điểm bất động của các toán tử tựa đơn điệu tăng. . . . . 40Tài liệu tham khảo 46 5Chương 1Định lý Knaster - Kuratowski-Mazurkiewicztrong không gian có thứ tự1.1 Nửa dàn.Định nghĩa 1.1.1 Một nửa dàn là một tập có thứ tự một phần X, vớithứ tự ký hiệu bởi ≤, mà trong đó mọi cặp (x, x0 ) của các phần tử cómột cận trên nhỏ nhất, ký hiệu x ∨ x0 .Ta thấy rằng mọi tập con A hữu hạn, khác rỗng của X đều có một cậntrên nhỏ nhất, ký hiệu là sup A. Trong một tập hợp có thứ tự (X, ≤),hai phần tử bất kỳ x và x0 không phải lúc nào cũng có thể so sánh vớinhau được, nhưng trong trường hợp mà x ≤ x0 , thì tập [x, ...