Luận văn Thạc sĩ: Hàm tử Ext trong phạm trù các không gian lồi địa phương

Luận văn Thạc sĩ: Hàm tử Ext trong phạm trù các không gian lồi địa phương giới thiệu môt số khái niệm và tính chất về không gian Tôpô thuần nhất, vật xạ ảnh tương đối từ đó đưa ra cách xây dựng hàm tử Ext bằng phép giải xạ ảnh tương đối.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ: Hàm tử Ext trong phạm trù các không gian lồi địa phương THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Phương AnHÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05LUẬN VĂN THẠC SỸ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gởi đến TS. Trần Huyên, Khoa Toán, Trường Đại Học Sư PhạmTp. Hồ Chí Minh – người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thànhluận văn này lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong trường Đại Học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũngnhư tìm tòi các tài liệu cho việc nghiên cứu. Vì kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mongđược sự chỉ bảo chân thành của các thầy, các cô và các bạn. -2- MỞ ĐẦU Có những cách khác nhau để xây dựng hàm tử mở rộng Ext trong phạm trùmô đun và một trong các cách đó là xây dựng bằng phép giải xạ ảnh. Hơn nữa, tabiết một không gian lồi địa phương có thể xem là một mô đun tự do mà trên đóđược trang bị một tôpô lồi địa phương nào đó. Bây giờ nếu ta thay phạm trù mô đunbằng phạm trù các không gian lồi địa phương, mà ta sẽ kí hiệu là phạm trù L, thìliệu rằng có thể xây dựng được hàm tử Ext trong đó hay không? Theo đuổi ý tưởngnày, chúng tôi đã xây dựng được hàm tử mở rộng Ext trên phạm trù L và đó cũnglà mục đích chính của cuốn luận văn này. Bố cục luận văn được chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình bày một cách khái quát con đường xây dựnghàm tử Ext trong phạm trù mô đun. Đồng thời chúng tôi cũng giới thiệu một số kháiniệm và tính chất cơ bản liên quan đến không gian lồi đia phương. Qua đó trình bày vềphạm trù các không gian lồi địa phương L nhằm lấy làm cơ sở cho việc xây dựng hàmtử Ext trong chính L sau này. Chương 2: Xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù các không gian lồi địaphương. Mục đích của cuốn luận văn này là xây dựng hàm tử Ext trên L và được trình bàyrõ trong chương hai này. Ở chương này chúng tôi sẽ giới thiệu môt số khái niệm vàtính chất về không gian tôpô thuần nhất, vật xạ ảnh tương đối từ đó đưa ra cách xâydựng hàm tử Ext bằng phép giải xạ ảnh tương đối. -3-Chương IKIẾN THỨC CHUẨN BỊMục đích của chương này gồm hai phần chính: trình bày cách xây dựng hàm tử mởrộng Ext n trong phạm trù mô đun bằng phép giải xạ ảnh và một số khái niệm, tính chấtcơ bản của phạm trù các không gian lồi địa phương. Các chứng minh đã được làm rõtrong 1 ,  2 , 3 nên việc trình bày chỉ nhằm mục đích nhắc lại chứ không đi sâu vàochi tiết. Trong suốt quyển luận văn này khi ta nói không gian tôpô X thì kí hiệu T X là nóikhông gian tôpô trên X, và nói không gian vectơ thì ta hiểu là không gian vectơ trêntrường số thực  . Ta xác định R là vành hệ tử cho các mô đun được nói đến trong bài viết này. Đểđơn giản ta sẽ gọi các R  mô đun trái là các mô đun, các R  đồng cấu là các đồng cấu. §1. PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU1.1.1 Phạm trù các phức Định nghĩa 1.1.1.1 Một phức hợp dây chuyền các mô đun là họ  X n ,  n  gồm các mô đun X n vàcác đồng cấu  n : X n  X n 1 , được cho theo tất cả các số nguyên n, hơn nữa n . n1  0 . Như vậy, phức hợp X là một dãy vô tận về hai đầu: n  n 1X : ....  X n 1   X n   X n 1  ... , trong đó tích hai đồng cấu nối tiếp nhaubằng 0. -4- Định nghĩa 1.1.1.2 Cho X   X n ,  n  và X    X n , n  là các phức. Một biến đổi dây chuyềnf : X  X  là họ các đồng cấu  f n : X n  X n  sao cho n f n  f n 1 n đối với mọi n.Điều kiện sau cùng tương đương với điều kiện biểu đồ (1.1) sau giao hoán: n  n 1 X : ....  X n1   X n   X n1  ... f n 1  fn  f n 1  (1.1) n n 1 X  : ....  X n 1   X n   X n 1  ... Về sau này, đôi khi để giản tiện chúng ta không viết các chỉ số các đồng cấu, nhưvậy các  n , n , f n có thể được viết một cách đơn giản là , , f . Tuy nhiên trongmỗi một hệ thức đồng cấu, chúng ta phải ngầm định là chúng phải được đánh số theocác chỉ số nào. Dễ thấy rằng tích hai biến đổi dây chuyền là mộ ...