Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ánh xạ không giãn, compact yếu trong không gian lồi đều

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ánh xạ không giãn, compact yếu trong không gian lồi đều bao gồm những nội dung về tính khả vi gateaux của chuẩn và tính lồi chặt của không gian; tính khả vi frechet của chuẩn và tính lồi đều của không gian; cấu trúc chuẩn tắc và các định lý điểm bất động của ánh xạ không giãn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ánh xạ không giãn, compact yếu trong không gian lồi đều BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Mai Văn DuyÁNH XẠ KHÔNG GIÃN, COMPACT YẾU TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Mai Văn DuyÁNH XẠ KHÔNG GIÃ`1`N, COMPACTYẾU TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành những lời đầu tiên để gửi lời cám ơn sâu sắc đến thầy PGS.TSLê Hoàn Hoá- người đã ân cần chỉ bảo, hướng dẫn nhiệt tình về mặt chuyên môncũng như phương pháp học tập quý báu, giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này.Xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở phòng sau đại học, các thầy cô đang công táctại trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡtôi trong toàn bộ quá trình học tập tại trường và trong quá trình làm luận văn. Cuốicùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, gia đình và người thân- những người đã động viên,giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mai Văn Duy MỤC LỤCTrang phụ bìaLời cảm ơnMục lụcDanh mục các ký hiệu và viết tắtMỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................................... 4 1.1. Không gian Banach. ......................................................................................... 4 1.2. Không gian Hilbert. .......................................................................................... 5 1.3. Tôpô yếu – Tính phản xạ. ................................................................................ 9 1.4. Tính khả vi Gateaux và khả vi Frechet. ......................................................... 14 1.5. Tập định hướng và lưới. ................................................................................. 18 1.6. Tập có thứ tự và bổ đề Zorn. .......................................................................... 19Chương 2. TÍNH KHẢ VI GATEAUX CỦA CHUẨN VÀ TÍNH LỒI CHẶT CỦA KHÔNG GIAN ............................................................ 21 2.1. Tính khả vi Gateaux của chuẩn, không gian trơn. ......................................... 21 2.2. Không gian lồi chặt. ....................................................................................... 29Chương 3. TÍNH KHẢ VI FRECHET CỦA CHUẨN VÀ TÍNH LỒI ĐỀU CỦA KHÔNG GIAN ................................................................. 33 3.1. Tính khả vi Frechet của chuẩn. ...................................................................... 33 3.2. Tính khả vi Frechet đều của chuẩn, không gian trơn đều, không gian lồi đều. ...... 42Chương 4. CẤU TRÚC CHUẨN TẮC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN ............................................. 65 4.1. Cấu trúc chuẩn tắc. ......................................................................................... 65 4.2. Ánh xạ không giãn và các định lý điểm bất động. ......................................... 67KẾT LUẬN .............................................................................................................. 76TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 77 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮTx Chuẩn của x trên không gian định chuẩn.x, y Tích vô hướng của x, y trên không gian tiền Hilbert. {x ∈ X | x =S ( X ) := 1} Mặt cầu đơn vị đóng trong không gian Banach X . { x ∈ X | x ≤ 1} Quả cầu đơn vị đóng trong không gian Banach X .B( X ) := 1 MỞ ĐẦU Điểm bất động của ánh xạ là một đối tượng đã được nghiên cứu từ rất lâu vàcó rất nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của khoa học và công nghệ. Các định lývề điểm bất động được bắt đầu nghiên cứu từ lớp các ánh xạ liên tục trong khônggian hữu hạn chiều, đó là các định lý Brouwer:Định lý Brouwer: Cho X là không gian hữu hạn chiều, B là quả cầu đơn vị đóngtrong X . Khi đó, mọi ánh xạ liên tục U : B → B đều có điểm bất động.Định lý Brouwer mở rộng: Cho X là không gian hữu hạn chiều, C là tập lồi đóngbị chặn trong X . Khi đó, mọi ánh xạ liên tục U : C → C đều có điểm bất động. Thực chất, điều kiện của định lý là ánh xạ liên tục trên một tập lồi đóng bịchặn trong không gian hữu hạn chiều(do đó là compact). Ta biết rằng lớp các khônggian hữu hạn chiều là khá khiêm tốn. Do đó, người ta muốn mở rộng định lý này lênkhông gian vô hạn chiều, khi số chiều của không gian là vô hạn thì tính liên tục trởnên yếu đi và tính compact của các tập lồi đóng bị chặn cũng mất đi. Do đó, cácđiều kiện cũng cần phải mạnh hơn:Định lý Brouwer cho không gian Hilbert: Cho X là không gian Hilbert, C ⊂ X làtập lồi đóng bị chặn và U : C → C là ánh xạ không giãn. Khi đó, U có điểm bấtđộng trong C.Định lý Shauder: Cho X là không gian Banach, C ⊂ X là tập lồi đóng,U : C → C liên tục và U (C ) compact tương đối. Khi đó, U có điểm bất động trong C. Rõ ràng khi mở rộng lên không gian Hilbert, tính liên tục không còn đảm bảocho sự tồn tại điểm bất động, ta cần tính không giãn. Còn khi mở rộng lên khônggian Banach, tính lồi đóng cũng không còn đảm bảo được sự tồn tại điểm bất động,do đó ta cần một điều kiện không dễ đạt ...