Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bậc trùng của một cặp ánh xạ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bậc trùng của một cặp ánh xạ gồm có 2 chương tập trung tìm hiểu về ánh xạ fredholm, bậc trùng cho ánh xạ L-compact, định lí tồn tại nghiệm cho những phương trình toán tử, bậc cho trường vectơ compact trù mật đa trị và một số nội dung khác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bậc trùng của một cặp ánh xạ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Duy ThúcBẬC TRÙNG CỦA MỘT CẶP ÁNH XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Duy ThúcBẬC TRÙNG CỦA MỘT CẶP ÁNH XẠChuyên ngành: Toán Giải tíchMã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm thành phố Hồ ChíMinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Bích Huy. Nhân dịp này tôi xin bàytỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã tận tình chu đáo và động viên tôi rất nhiềutrong suốt quá trình học tập cũng như quá trình hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn tất cả các Thầy Cô, các cán bộ trong khoa Toán – Tin củatrường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là các Thầy trong tổ GiảiTích đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn các bạn học viên nghành toán đã động viên giúp đỡ tôi và cónhiều ý kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành luận văn. Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếusót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các Thầy Cô và các Bạn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2014 Tác giả MỤC LỤCTrang phụ bìaLời cảm ơnMục lụcMỞ ĐẦU ...................................................................................................................1Chương 1. BẬC TRÙNG CỦA MỘT CẶP ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ..........................3 1.1. Ánh xạ fredholm ...............................................................................................3 1.2. Bậc trùng cho ánh xạ L -compact ..................................................................10 1.3. Định lí tồn tại nghiệm cho những phương trình toán tử .................................18Chương 2. BẬC TRÙNG CHO ÁNH XẠ ĐA TRỊ ..............................................23 2.1. Bậc cho trường vectơ compact trù mật đa trị .................................................23 2.2. Bậc trùng cho ánh xạ đa trị .............................................................................34 2.3. Các tính chất cơ bản của bậc trùng .................................................................46KẾT LUẬN ..............................................................................................................62TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................63 1 MỞ ĐẦU Phần lớn các phương trình vi phân,tích phân xuất phát từ khoa học tự nhiên vàxã hội đưa đến việc giải phương trình dạng x = A ( x ) hay bài toán điểm bấtđộng.Bậc tôpô của một ánh xạ là công cụ quan trọng bậc nhất trong nghiên cứa sựtồn tại và cấu trúc của điểm bất động. Bậc tôpô của ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều được xây dựngtrong những năm 1910 và ban đầu được xây dựng trong Giải tích phức,trong Líthuyết đường và mặt.Năm 1934 Leray-Schauder đã xây dựng bậc tôpô cho ánh xạhoàn toàn liên tục,tác động trong không gian Banach và ứng dụng nó để nghiên cứuphương trình đạo hàm riêng. Từ đó bậc tôpô được các nhà toán học quan tâmnghiên cứu có hệ thống và đã mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ mới xuất hiện trongkhoa học,kĩ thuật. Trong những năm 1960-1970, bậc tôpô đã được xây dựng choánh xạ dương trong không gian Banach có thứ tự, cho ánh xạ đơn điệu, ánh xạ côđặc theo một độ đo phi compact và cho ánh xạ đơn trị compact,… Một hướng mở rộng khác của bậc tôpô là xây dựng lí thuyết bậc tôpô đểnghiên cứu phương trình dạng L ( x ) = N ( x ) mà bài toán điểm bất động là trườnghợp riêng khi L ( x ) = x hoặc L có ánh xạ ngược liên tục.Trong những năm 1970,bậc trùng của cặp ánh xạ L, N đã được J.Mawhin xây dựng như một mở rộng tựnhiên của bậc tôpô. Bậc trùng có nhiều tính chất tương tự bậc tôpô và là công cụhửu hiệu để nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân và tích phân. Trong phạm vi luận văn này tôi đi sâu tìm hiểu về bậc trùng của ánh xạ đơn trịvà ánh xạ đa trị. Bố cục luận văn chia làm hai chương:  Chương1. Bậc trùng của cặp ánh xạ đơn trị Chương này giới thiệu về lí thuyết bậc của Mawhin cho ánh xạ L -compact.Chương này gồm ba phần chính. Trong phần1.1 giới thiệu về ánh xạ Fredholm và mối hệ của nó với ánh xạ A-proper. 2 Trong phần 1.2 đưa ra định nghĩa về ánh xạ L -compact (ở đây L là ánh xạFredholm) và giới thiệu ...