Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai

Dưới đây là luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai. Luận văn bao gồm những nội dung về giới thiệu bài toán ; một số định lý và bổ đề; các kết quả chính; ứng dụng kết quả chính vào bài toán giá trị biên hỗn hợp ; ứng dụng kết quả chính vào bài toán giá trị đầu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Phạm Minh ĐăngBÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ GIÁ TRỊĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA CẤP HAI Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc nhất đến ThầyPGS.TS Lê Hoàn Hóa đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn tôi hoàn thànhluận văn này . Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại Học Sư PhạmTP.HCM và Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên đã tận tình giảng dạytrong suốt khóa học . Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy, Cô thuộc Phòng quản lý Sau ĐạiHọc đã tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính trong suốt khóahọc . Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo Dục và Đào tạo Đồng Nai, Ban GiámHiệu Trường THPT Điểu Cải, tổ Toán – Tin của Trường đã tạo mọi điềukiện thuận lợi về mọi mặt để tôi yên tâm học tập và làm việc. Cảm ơn các bạn học viên cao học giải tích khóa 16 đã giúp đỡ và hỗtrợ cho tôi rất nhiều trong suốt khóa học . Xin cảm ơn gia đình đã là chỗ dựa tốt nhất cho tôi yên tâm học tập. Tp.Hồ Chí Minh tháng 6 năm 2008 Tác giả Phạm Minh Đăng MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân thường và cho phươngtrình vi phân trung hòa được nhiều tác giả nghiên cứu và đã sử dụng các địnhlý về sự liên tục của Leray – Schauder, phương pháp biến đổi bậc tôpô… Vídụ trong [5, 7, 8, 9, 10, 12] . Trong [8], tác giả đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán d  x(t )  g (t , xt )   f  t , xt , x(t )  , 0  t  1 dt   xo   , x(1)   với f :  0,1  C  n  n , g :  0,1  C  n là những hàm liên tục, n  C,   . Trong [ 12], tác giả nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và phụ thuộcliên tục vào tham số thực  cho nghiệm của bài toán sau :  (t ) x(t )   f  t , xt , x(t )  , 0  t  T, xo   , Ax(T )  Bx(T )   với  (t ) là một ma trận cấp n  n liên tục xác định trên  0,T  , A và Blà ma trận hằng cấp n  n ,   n  ,  C  C   r ,0; n . Trong [ 7, 10], tác giả đã nghiên cứu bài toán giá trị biên u  f (t , u )  0, 0  t  1 trong đó f :  0,1   liên tục, với một trong các điều kiện biên u (0)  0, u (1)   u ( ) hoặc u(0)  0, u(1)   u( ) … Chính vì vậy, luận văn này sẽ trình bày một số kết quả của “Bài toán giátrị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai”.2. Mục đích nghiên cứu Sử dụng các định lý về điểm bất động để tìm lời giải cho bài toán giá trịbiên và giá trị đầu cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai .3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Với giả thiết thích hợp trên hàm f, chúng ta chứng minh tồn tại, duynhất và phụ thuộc liên tục cho nghiệm của bài toán .4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Định lý về điểm bất động là công cụ mạnh đã được nhiều nhà toán họcsử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân. Luận văn đã chỉ ra được các kết quả đẹp cho bài toán .5. Cấu trúc luận văn Luận văn sẽ được chia thành các chương như sau : Mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài Chương 1 : Giới thiệu bài toán Trong chương này sẽ giới thiệu bài toán và một số không gian hàm. Chương 2 : Một số định lý và bổ đề Nội dung chương này trình bày một số định lý và bổ đề cần dùng để chứng minh các kết quả trong các chương kế tiếp. Chương 3 : Các kết quả chính Sử dụng các kết quả của chương hai để giải quyết một số bài toán đã giới thiệu trong chương một . Chương 4 : Ứng dụng kết quả chính vào bài toán giá trị biên hỗn hợp Sử dụng các kết quả trong chương hai và ba chúng ta khảo sát sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên (E) – (BC2) .Chương 5 : Ứng dụng kết quả chính vào bài toán giá trị đầu Sử dụng các kết quả trong chương hai và ba chúng ta khảo sát sự tồn tại, duy nhất, phụ thuộc liên tục vào tham số cho nghiệm của bài toán giá trị đầu (E) – (IC3) . Chương 1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 1.1. Mở đầu Trong luận văn này chúng tôi xét bài toán giá trị biên ba điểm chophương trình vi phân trung hòa cấp hai u  f (t , ut , u(t ))  0 , t  [0,1] (E) uo   , u (1)  u ( ) với   C  C ([  r,0], ) ,   (0,1) , f  C [0,1]  C  ,  Với giả thiết thích hợp trên hàm f, chúng ta chứng minh tồn tại, duynhất và phụ thuộc liên tục cho nghiệm của bài toán. Cũng như một ứng dụng của phương pháp đã được sử dụng trongchứng minh bài toán trên, luận văn cũng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm chophương trình (E) với hỗn hợp các điều kiện biên uo   , u ...