Luận văn Thạc sĩ Toán học: Biểu diễn số nguyên tố bởi các dạng toàn phương bậc hai nguyên

Bài toán biểu diễn các số nguyên tố dưới dạng toàn phương bậc hai nguyên là một trong những bài toán quan trọng và có nhiều ứng dụng của lý thuyết số. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu tính Euclide của các vành số nguyên của trường mở rộng bậc 2, của trường các số hữu tỉ Q và sau đó ứng dụng nó để nghiên cứu một số cách biểu diễn của số nguyên tố p bởi các dạng toàn phương bậc hai nguyên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Biểu diễn số nguyên tố bởi các dạng toàn phương bậc hai nguyên -1- BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏOTRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ””” NGUYEÃN HUYØNH NGOÏC XUAÂNBIEÅU DIEÃN SOÁ NGUYEÂN TOÁ BÔÛI CAÙC DAÏNG TOAØN PHÖÔNG BAÄC HAI NGUYEÂN Chuyeân ngaønh: Ñaïi soá vaø lyù thuyeát soá Maõ soá: 604605 LUAÄN VAÊN THAÏC SYÕ TOAÙN HOÏC Ngöôøi höôùng daãn khoa hoïc: PGS.TS. Mî Vinh Quang Thaønh phoá Hoà Chí Minh, naêm 2006 -2- MUÏC LUÏC TrangTrang phuï bìa .............................................................................................................1Muïc luïc .......................................................................................................................2Môû ñaàu .......................................................................................................................3Chöông 1: Kieán thöùc cô baûn ....................................................................................4 1.1. Kyù hieäu Legrendre ...........................................................................4 1.2 Kyù hieäu Jacobi ...................................................................................10 1.3 vaønh caùc soá nguyeân ñaïi soá .................................................................11Chöông 2: Tình Euclide cuûa vaønh caùc soá nguyeân ñaïi soá baäc hai..............................14 2.1 Mieàn Euclide .....................................................................................14 2.2 Ví duï veà mieàn Euclide .......................................................................15 2.3 Ví duï veà mieàn khoâng Euclide ............................................................27Chöông 3: Bieåu dieãn soá nguyeân toá döôùi daïng toaøn phöông baäc hai nguyeân ............33 3.1 Boå ñeà .................................................................................................33 3.2 Boå ñeà..................................................................................................34 3.3 Ñònh lyù ...............................................................................................36 3.4 Ñònh lyù ..............................................................................................37 3.5 Ñònh lyù ..............................................................................................39 3.6 Moät soá haøm soá hoïc.............................................................................41Taøi lieäu tham khaûo .....................................................................................................47 -3- MÔÛ ÑAÀU Moät soá nguyeân n ñöôïc goïi laø bieåu dieãn ñöôïc döôùi daïng toaøn phöông baäc hainguyeân: ax2 + bxy + cy2 (a, b, c ∈ Z) neáu coù soá nguyeân x, y sao cho n = ax2 + bxy + cy2. Baøi toaùn bieåu dieãn caùc soá nguyeân toá döôùi daïng toaøn phöông baäc hai nguyeân laømoät trong nhöõng baøi toaùn quan troïng vaø coù nhieàu öùng duïng cuûa lyù thuyeát soá. Trong luaänvaên naøy chuùng toâi nghieân cöùu tính Euclide cuûa caùc vaønh soá nguyeâncuûa tröôøng môû roängbaäc 2, cuûa tröôøng caùc soá höõu tæ Q vaø sau ñoù öùng duïng noù ñeå nghieân cöùu moät soá caùchbieåu dieãn cuûa soá nguyeân toá p bôûi caùc daïng toaøn phöông baäc hai nguyeân. Luaän vaên goàm coù 3 chöông: Chöông 1: Kieán thöùc cô baûn. Neâu ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa kyù hieäu Legendre vaø Jacobi. Ñònh nghóa vaø moâ taû vaønh soá nguyeân ñaïi soá cuûa tröôøng Q ( m ) Chöông 2: Tính Euclide cuûa vaønh caùc soá nguyeân ñaïi soá baäc hai. Chuùng toâi nghieân cöùu khi naøo vaønh soá nguyeân ñaïi soá baäc hai laø mieàn Euclide vaø khoâng laø mieàn Euclide. Chöông 3: Bieåu dieãn soá nguyeân toá döôùi daïng toaøn phöông baäc hai nguyeân. AÙp duïng chöông 1 vaø chöông 2 ñeå xeùt xem khi naøo soá nguyeân toá p bieåu dieãn ñöôïc döôùi daïng toaøn phöông baäc hai nguyeân vaø cho tröôùc moät soá n ta coù theå tính ñöôïc bao nhieâu öôùc d cuûa n coù theå bieåu dieãn ñöôïc vaø toång caùc öôùc ñoù. Toâi xin gôûi lôøi caûm ôn ñeán caùc thaày, coâ khoa toaùn tröôøng ÑH Sö phaïm TP.HCMvaø caùc ...