Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các bất biến của một lớp con các đại số lie giải được 5 chiều

Mục đích của luận văn Thạc sĩ Toán học: Các bất biến của một lớp con các đại số lie giải được 5 chiều là nhằm dùng thuật toán do các nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đưa ra để nghiên cứu các bất biến của các đại số lie. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các bất biến của một lớp con các đại số lie giải được 5 chiều BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Minh HảiCÁC BẤT BIẾN CỦA MỘT LỚP CONCÁC ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC 5 CHIỀU Chuyên ngành : Hình học và Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Phó Giáo sưTiến sĩ Lê Anh Vũ. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kínhyêu đã từng bước hướng dẫn tác giả làm quen với lý thuyết biểu diễn nhóm Lieđể tiến tới nắm vững lý thuyết đó và tự giải quyết bài toán của mình. Chân thành cảm ơn các thầy trong Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin TrườngĐại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyênmôn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học trường Đạihọc Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh; Ban Giám hiệu cùng đồng nghiệp trong tổ Toántrường THPT Phan Bội Châu Phan Thiết; thầy Kiều Ngọc Tú, hiệu trưởngtrường THPT Chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận đã động viên, giúp đỡ, tạomọi điều kiện luận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2008 Tác giả Trần Minh Hải DANH MỤC CÁC KÝ HIỆUAut(V) : Nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ VAut(G) : Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G : Trường số phứcC (V) : Không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp VEnd(V) : Không gian các đồng cấu trên không gian vectơ VExp : Ánh xạ mũ expG* : Không gian đối ngẫu của đại số Lie GGL(n, ) : Nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thựcLie(G) : Đại số Lie của nhóm Lie GMat(n, ) : Tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực : Trường số thựcTeG : Không gian tiếp xúc của G tại điểm đơn vị e MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Đại số Lie thực với số chiều thấp có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vựcToán học và Vật lí học. Sự phân loại các lớp đẳng cấu đại số với số chiều thấp lànền tảng và cơ sở ban đầu để hình thành một phương pháp tính các bất biến củađại số Lie bằng phương pháp thay đổi hệ tọa độ, mặc dù phương pháp này khôngnhất thiết chỉ áp dụng cho đại số Lie. Các nhà toán học Vyacheslav Boyko, JiriPatera và Roman Popovych đã giới thiệu một thuật toán hoàn toàn mới để tínhtoán các bất biến (toán tử Casimir tổng quát) của các đại số Lie. Thuật toán nàysử dụng phương pháp thay đổi hệ tọa độ Cartan và kiến thức về nhóm phép tựđẳng cấu trong của mỗi đại số Lie. Đặc biệt, thuật toán được ứng dụng để tínhtoán các bất biến của đại số Lie thực có số chiều thấp. Thuận lợi chủ yếu củaphương pháp này là các tính toán chỉ thuần túy đại số. Khác với các phươngpháp thông thường, nó không dẫn đến việc giải hệ phương trình vi phân mà thayvào đó là việc giải hệ phương trình đại số. Sự khai thác hiệu quả của phươngpháp mới này bắt buộc phải có sự chọn lựa cơ sở của đại số Lie. Việc lựa chọncơ sở như thế tự động mang lại những biểu thức đơn giản hơn. Điều thú vị là tất cả những bất biến độc lập của đại số Lie thực số chiềuthấp đã được tìm ra cách đây vài thập niên. Đó là các toán tử đa thức trong đại sốLie, ở đây được gọi là toán tử Casimir, và khi những toán tử này không phải làcác đa thức thì được gọi là toán tử Casimir tổng quát. Hiện nay việc xây dựng lý thuyết của toán tử Casimir tổng quát trong cáctrường hợp chung là không thể thực hiện được. Tuy nhiên, có một vài bài báoviết về các tính chất của các toán tử như vậy. Việc áp dụng các nhóm bất biếncủa các lớp đại số Lie khác nhau đã xuất hiện trong các vấn đề của Vật lý học.Đặc biệt, cơ sở hàm của các nhóm bất biến đã được tính toán trên tất cả các đạisố Lie thực 3, 4, 5 chiều và đại số Lie thực lũy linh 6 chiều. Các vấn đề tương tựcũng đã được xét trong đại số Lie thực 6 chiều với 4 chiều nilradical. Các nhómcon của nhóm Poincare cùng với các bất biến của chúng cũng đã được tìm thấy.Toán tử Casimir duy nhất của nhóm afin đơn modular SA(4, ) đã được tìm racùng với nhóm phủ đôi SA(4, ) như là một nhóm đối xứng của hàm phổ củacác hạt trong lý thuyết gravity-related khác nhau, và chúng đã được áp dụng đểxây dựng lý thuyết biểu diễn bất khả quy unita của nhóm SA(4, ) . Sự tồn tại các cơ sở bao gồm toàn bộ các toán tử Casimir (các bất biến đathức) là quan trọng cho lý thuyết các toán tử Casimir tổng quát cùng với các ứngdụng của chúng. Nó đã được chỉ ra trong trường hợp đại số Lie lũy linh đầy đủbởi Abellanas L. và Martinez Alonso L. Đại số ...